Question

7．如圖，直線y₁=kx+2與反比例函數(shù)y₂=$\frac{3}{x}$的圖象交于點(diǎn)A（m，3），與坐標(biāo)軸分別交于B，C兩點(diǎn)．
（1）若y₁＞y₂＞0，求自變量x的取值范圍；
（2）動(dòng)點(diǎn)P（n，0）在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)n為何值時(shí)，|PA-PC|的值最大？并求最大值．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A的縱坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系，即可得出當(dāng)y₁＞y₂＞0時(shí)，自變量x的取值范圍；
（2）由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可確定當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，|PA-PC|的值最大，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出此最大值．

解答 解：（1）當(dāng)y₂=$\frac{3}{x}$=3時(shí)，x=1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3）．
觀察函數(shù)圖象，可知：當(dāng)x＞1時(shí)，直線在雙曲線上方，
∴若y₁＞y₂＞0，自變量x的取值范圍為x＞1．

（2）將A（1，3）代入y₁=kx+2中，
3=k+2，解得：k=1，
∴直線AB的解析式為y₁=x+2．
當(dāng)x=0時(shí)，y₁=x+2=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），
∴AC=$\sqrt{（0-1）^{2}+（2-3）^{2}}$=$\sqrt{2}$．
當(dāng)y₁=x+2=0時(shí)，x=-2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，0）．
當(dāng)點(diǎn)P于點(diǎn)B重合時(shí)，|PA-PC|的值最大，此時(shí)n=-2，|PA-PC|=AC=$\sqrt{2}$．
∴當(dāng)n為-2時(shí)，|PA-PC|的值最大，最大值為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、一次（反比例）函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）利用三角形的三邊關(guān)系確定點(diǎn)P的位置．