Question

2．如圖，在?ABCD中，∠B=30°，AB=AC，O是兩條對角線的交點，過點O作AC的垂線分別交邊AD，BC于點E，F(xiàn)；點M是邊AB的一個三等分點，則△AOE與△BMF的面積比為3：4．

Answer 1

分析 作MH⊥BC于H，設AB=AC=m，則BM=$\frac{1}{3}$m，MH=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{6}$m，根據(jù)平行四邊形的性質求得OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$m，解直角三角形求得FC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，然后根據(jù)ASA證得△AOE≌△COF，證得AE=FC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，進一步求得OE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{\sqrt{3}}{6}$m，從而求得S_△AOE=$\frac{\sqrt{3}}{24}$m²，作AN⊥BC于N，根據(jù)等腰三角形的性質以及解直角三角形求得BC=$\sqrt{3}$m，進而求得BF=BC-FC=$\sqrt{3}$m-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m，分別求得△AOE與△BMF的面積，即可求得結論．

解答 解：設AB=AC=m，則BM=$\frac{1}{3}$m，
∵O是兩條對角線的交點，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$m，
∵∠B=30°，AB=AC，
∴∠ACB=∠B=30°，
∵EF⊥AC，
∴cos∠ACB=$\frac{OC}{FC}$，即cos30°=$\frac{\frac{1}{2}m}{FC}$，
∴FC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，
∵AE∥FC，
∴∠EAC=∠FCA，
又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=FC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，
∴OE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{\sqrt{3}}{6}$m，
∴S_△AOE=$\frac{1}{2}$OA•OE=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}m$×$\frac{\sqrt{3}}{6}$m=$\frac{\sqrt{3}}{24}$m²，
作AN⊥BC于N，
∵AB=AC，
∴BN=CN=$\frac{1}{2}$BC，
∵BN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
∴BC=$\sqrt{3}$m，
∴BF=BC-FC=$\sqrt{3}$m-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m，
作MH⊥BC于H，
∵∠B=30°，
∴MH=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{6}$m，
∴S_△BMF=$\frac{1}{2}$BF•MH=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m×$\frac{1}{6}$m=$\frac{\sqrt{3}}{18}$m²，
∴$\frac{{S}_{△AOE}}{{S}_{△BMF}}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{24}{m}^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{18}{m}^{2}}$=$\frac{3}{4}$．
故答案為3：4．

點評 本題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定和性質以及解直角三角形等，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．