Question

13．設(shè)a，b是任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，我們規(guī)定：滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]．對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當(dāng)m≤x≤n時(shí)，有m≤y≤n，我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間[m．n]上的“閉函數(shù)”．如函數(shù)y=-x+4，當(dāng)x=1時(shí)，y=3；當(dāng)x=3時(shí)，y=1，即當(dāng)1≤x≤3時(shí)，有1≤y≤3，所以說(shuō)函數(shù)y=-x+4是閉區(qū)間[1，3]上的“閉函數(shù)”．
（1）反比例函數(shù)y=$\frac{2015}{x}$是閉區(qū)間[1，2015]上的“閉函數(shù)”嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由；
（2）若二次函數(shù)y=x²-2x-k是閉區(qū)間[1，2]上的“閉函數(shù)”，求k的值；
（3）若一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式（用含m，n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)反比例函數(shù)y=$\frac{2015}{x}$的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行判斷；
（2）由于二次函數(shù)y=x²-2x-k的圖象開口向上，對(duì)稱軸為x=1，所以二次函數(shù)y=x²-2x-k在閉區(qū)間[1，2]內(nèi)，y隨x的增大而增大．當(dāng)x=1時(shí)，y=1，所以k=-2．當(dāng)x=2時(shí)，y=2，所以k=-2．即圖象過(guò)點(diǎn)（1，1）和（2，2），所以當(dāng)1≤x≤2時(shí)，有1≤y≤2，符合閉函數(shù)的定義，所以k=-2．
（3）根據(jù)新定義運(yùn)算法則，分兩種情況：k＞0，k＜0，列出關(guān)于系數(shù)k、b的方程組，通過(guò)解該方程組即可求得系數(shù)k、b的值，即可解答．

解答 解：（1）反比例函數(shù)y=$\frac{2015}{x}$是閉區(qū)間[1，2015]上的“閉函數(shù)”．理由如下：
反比例函數(shù)y=$\frac{2015}{x}$在第一象限，y隨x的增大而減小，
當(dāng)x=1時(shí)，y=2015；
當(dāng)x=2015時(shí)，y=1，
即圖象過(guò)點(diǎn)（1，2015）和（2015，1）
∴當(dāng)1≤x≤2015時(shí)，有1≤y≤2015，符合閉函數(shù)的定義，
∴反比例函數(shù)y=$\frac{2015}{x}$是閉區(qū)間[1，2015]上的“閉函數(shù)”；

（2）由于二次函數(shù)y=x²-2x-k的圖象開口向上，
對(duì)稱軸為x=1，
∴二次函數(shù)y=x²-2x-k在閉區(qū)間[1，2]內(nèi)，y隨x的增大而增大．
當(dāng)x=1時(shí)，y=1，
∴k=-2；
當(dāng)x=2時(shí)，y=2，
∴k=-2；
即圖象過(guò)點(diǎn)（1，1）和（2，2），
∴當(dāng)1≤x≤2時(shí)，有1≤y≤2，符合閉函數(shù)的定義，
∴k=-2．

（3）因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y=kx+b（k≠0）是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”，
根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，有：
（Ⅰ）當(dāng)k＞0時(shí)，即圖象過(guò)點(diǎn)（m，m）和（n，n），
$\left\{\begin{array}{l}{mk+b=m}\\{nk+b=n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴y=x；
（Ⅱ）當(dāng)k＜0時(shí)，即圖象過(guò)點(diǎn)（m，n）和（n，m），
可得：$\left\{\begin{array}{l}{mk+b=n}\\{nk+b=m}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=m+n}\end{array}\right.$，
∴y=-x+m+n，
∴一次函數(shù)的解析式為y=x或y=-x+m+n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是弄清楚“閉函數(shù)”的定義．解題時(shí)，也要注意“分類討論”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．