Question

14．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=$\frac{1}{2}$（x+1）²-2與x軸交于A、B兩點，四邊形ABCD是以AB為直徑的⊙M的內(nèi)接四邊形，點C在y軸的正半軸上，點D是劣弧$\widehat{AC}$上一個動點，當BD把∠ABC分成1：3兩部分時，BD的長為$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 連接MD、AD，作DN⊥AB于N，解方程求出點A、點B的坐標，根據(jù)相交弦定理求出OC，根據(jù)正切的定義求出∠OBC的度數(shù)，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出∠AMD的度數(shù)，根據(jù)勾股定理計算即可．

解答 解：連接MD、AD，作DN⊥AB于N，
$\frac{1}{2}$（x+1）²-2=0，
整理得，x²+2x-3=0，
解得，x₁=-3，x₂=1，
則點A的坐標為（-3，0），點B的坐標為（1，0），
由相交弦定理得，OC²=OA•OB=3，
則OC=$\sqrt{3}$，又OB=1，
tan∠OBC=$\frac{OC}{OB}$=$\sqrt{3}$，
∴∠OBC=60°，
∵BD把∠ABC分成1：3兩部分，
∴∠ABD=15°，
∴∠AMD=30°，
∴DN=$\frac{1}{2}$DM=1，
由勾股定理得，MN=$\sqrt{D{M}^{2}-D{N}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
則AN=2-$\sqrt{3}$，
∴AD²=AN²+DN²=8-4$\sqrt{3}$，
BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查的是拋物線與x軸的交點的求法、銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理的應用，正確解出一元二次方程、掌握坐標與圖形的特征是解題的關(guān)鍵．