Question

11．如圖，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，tanA=$\frac{1}{2}$，點P在AB邊上，⊙P的半徑為定長．當點P與點B重合時，⊙P恰好與AC邊相切；當點P與點B不重合時，⊙P與AC邊相交于點M和點N．
（1）求⊙P的半徑；
（2）當AP=$6\sqrt{5}$時，試探究△APM與△PCN是否相似，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）作BD⊥AC，垂足為點D．則BD就是⊙P的半徑．根據(jù)勾股定理即可得出BD，即⊙P的半徑；
（2）當AP=6$\sqrt{5}$時，可求出AM、CN．可證出△AMP∽△PNC．

解答 解：（1）作BD⊥AC，垂足為點D．
∵⊙P與邊AC相切，
∴BD就是⊙P的半徑，
設(shè)BD=x，則AD=2x，
由勾股定理得：x²+（2x）²=15²，
解得：$x=3\sqrt{5}$，
∴半徑為$3\sqrt{5}$；

（2）相似；
過點P作PH⊥AC于點H，
∵tanA=$\frac{PH}{AH}$=$\frac{1}{2}$，AP=$6\sqrt{5}$，
∴AH=2PH，
∴AH²+PH²=AP²，
即（2PH）²+PH²=（6$\sqrt{5}$）²，
∴PH=6，AH=12，
∵PM=3$\sqrt{5}$，
∴MH=3，
∴AM=9，
∴CN=5，
∴$\frac{AM}{MP}=\frac{PN}{NC}=\frac{3}{{\sqrt{5}}}$，
又∵PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM，
∴∠AMP=∠PNC，
∴△AMP∽△PNC．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．