Question

17．已知，如圖，二次函數(shù)y=ax²+2ax-3a（a≠0）圖象的頂點(diǎn)為H，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（B在A點(diǎn)右側(cè)），點(diǎn)H、B關(guān)于直線l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$對(duì)稱．
（1）A坐標(biāo)為（-3，0）B坐標(biāo)為（1，0）；H坐標(biāo)為（-1，2$\sqrt{3}$）；
（2）求二次函數(shù)解析式；
（3）在x軸上找一點(diǎn)P，使得|PA-PH|最大，求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）過點(diǎn)B作直線BK∥AH交直線l于K點(diǎn)，M、N分別為直線AH和直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），根據(jù)交點(diǎn)和系數(shù)的關(guān)系得出$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-2}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-3}\end{array}\right.$，解得x₁=-3，x₂=1，從而求得A（-3，0），B（1，0），由直線l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$可知，tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求得OC=$\sqrt{3}$，作HE⊥AB于E，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)求得H的縱坐標(biāo)，根據(jù)A、B的坐標(biāo)求得H的橫坐標(biāo)；
（2）把H點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+2ax-3a（a≠0），求得a的值即可；
（3）根據(jù)|PA-PH|≤AH，即可求得P和A重合，即可求得P的坐標(biāo)；
（4）根據(jù)待定系數(shù)法求出過A和H點(diǎn)的直線解析式，因?yàn)檫^點(diǎn)B作直線BK∥AH交直線l于K點(diǎn)，所以直線BK的斜率和直線AH的相等，又過B，所以可求出直線BK的解析式，再把直線l的解析式和BK的解析式聯(lián)立，即可求出K的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)H、B關(guān)于直線AK對(duì)稱，得出HN+MN的最小值是MB，過點(diǎn)K作直線AH的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接QK，交直線AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長(zhǎng)是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-2}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-3}\end{array}\right.$，解得x₁=-3，x₂=1，
∴A（-3，0），B（1，0），
由直線l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$可知，tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×3=$\sqrt{3}$，
作HE⊥AB于E，如圖1，
∴OC∥HE，
∵HC=BC，
∴HE=2OC=2$\sqrt{3}$，
∵$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-1，
∴H（-1，2$\sqrt{3}$）；
故答案為（-3，0），（1，0），（-1，2$\sqrt{3}$）；
（2）把H（-1，2$\sqrt{3}$）代入y=ax²+2ax-3a得，2$\sqrt{3}$=a-2a-3a，
解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴二次函數(shù)解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-$\sqrt{3}$x+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
（3）∵|PA-PH|≤AH，
∴當(dāng)P點(diǎn)和A點(diǎn)重合時(shí)|PA-PH|最大，
∴P（-3，0）；
（4）設(shè)直線AH的解析式為y=kx+b，把A和H點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出k=$\sqrt{3}$，b=3$\sqrt{3}$，
∵過點(diǎn)B作直線BK∥AH，
∴直線BK的解析式為y=mx+n中的m=$\sqrt{3}$，
又因?yàn)锽在直線BK上，代入求出n=-$\sqrt{3}$，
∴直線BK的解析式為：y=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}}\\{y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴交點(diǎn)K的坐標(biāo)是（3，2$\sqrt{3}$），
則BK=4，
∵點(diǎn)H、B關(guān)于直線AK對(duì)稱，K（3，2$\sqrt{3}$），
∴HN+MN的最小值是MB，KD=KE=2$\sqrt{3}$，
過K作KD⊥x軸于D，作點(diǎn)K關(guān)于直線AH的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接QK，交直線AH于E，KD=KE=2$\sqrt{3}$，
則QM=MK，QE=EK=2$\sqrt{3}$，AE⊥QK，
∴根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長(zhǎng)是HN+NM+MK的最小值，
∵BK∥AH，
∴∠BKQ=∠HEQ=90°，
由勾股定理得QB=$\sqrt{B{K}^{2}+Q{K}^{2}}$=8，
∴HN+NM+MK的最小值為8．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)與一元二次方程，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，此題是一個(gè)綜合性比較強(qiáng)的題目，有一定的難度．