Question

11．閱讀下面的文字，完成解答過程．
（1）$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，則$\frac{1}{2007×2008}$=$\frac{1}{2007}$-$\frac{1}{2008}$，并且用含有n的式子表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．
（2）根據(jù)上述方法計(jì)算：$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{2006×2007}$．
（3）根據(jù)（1），（2）的計(jì)算，我們可以猜測(cè)下列結(jié)論：$\frac{1}{n（n+k）}$=$\frac{1}{k}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+k}$） （其中n，k均為正整數(shù)），并計(jì)算$\frac{1}{1×4}$+$\frac{1}{4×7}$+$\frac{1}{7×10}$+…+$\frac{1}{2005×2008}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題中給出的列子可直接得出結(jié)論；
（2）分別計(jì)算出$\frac{1}{1×3}$，$\frac{1}{3×5}$，$\frac{1}{5×7}$的值，再進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）根據(jù)（1）、（2）的結(jié)論找出規(guī)律，并進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{2007×2008}$=$\frac{1}{2007}$-$\frac{1}{2008}$．
故答案為：$\frac{1}{2007}$-$\frac{1}{2008}$；

（2）∵$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$），$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{15}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{35}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$），
∴$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{2006×2007}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2006}$-$\frac{1}{2007}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2007}$）
=$\frac{1003}{2007}$．
故答案為：$\frac{1003}{2007}$；

（3）根據(jù)（1），（2）的計(jì)算，我們可以猜測(cè)下列結(jié)論：$\frac{1}{n（n+k）}$=$\frac{1}{k}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+k}$）．
$\frac{1}{1×4}$+$\frac{1}{4×7}$+$\frac{1}{7×10}$+…+$\frac{1}{2005×2008}$=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$+…+$\frac{1}{2005}$-$\frac{1}{2008}$）=$\frac{669}{2008}$．
故答案為：$\frac{1}{k}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+k}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)題意找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．