Question

12．如圖，將四邊形ABCD的對角線BD向兩個方向延長，分別至點(diǎn)E和點(diǎn)F，且使BE=DF，若AE∥CF且AE=CF．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）若AC⊥EF，求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)SAS可證△ABE≌△CDF；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定可得四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)菱形的判定即可求解．

解答 證明：（1）∵AE∥CF，
∴∠E=∠F，
在△ABE與△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠E=∠F}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
∴∠ABD=∠CDB，
∴AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AC⊥EF，即AC⊥DB，
∴平行四邊形ABCD是菱形．

點(diǎn)評 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定、菱形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定、菱形的判定方法和全等三角形的判定方法．