Question

7．如圖1，在正方形ABCD的外側(cè)，作兩個(gè)等邊三角形ADE和DCF，連接AF、BE．

（1）請判斷AF與BE的關(guān)系并給予證明；
（2）如圖2，若將條件“兩個(gè)等邊三角形ADE和DCF變?yōu)閮蓚�(gè)等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）問中的結(jié)論是否仍然成立？請作出判斷并給予證明；
（3）若三角形ADE和DCF為一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）問中的結(jié)論是否仍然成立？請直接寫出判斷結(jié)果．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定定理證明△BAE≌△ADF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明；
（2）根據(jù)邊邊邊定理、邊角邊定理證明三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；
（3）與（2）的證明方法相似，證明即可．

解答 解：（1）AF=BE；AF⊥BE．理由如下：如圖1所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD，
∵△ADE和△DCF是等邊三角形，
∴∠DAE=∠CDF=60°，AE=AD，DF=CD，
∴AE=DF，∠BAE=∠ADF=150°，
在△BAE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠BAE=∠ADF}&{\;}\\{AE=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴AF=BE，∠ABE=∠DAF．
∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠AMB=90°，
∴AF⊥BE；
（2）第（1）問中的結(jié)論仍然成立，其理由如下：如圖2所示：
在正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD．
∵EA=ED=FD=FC，
在△AED和△DFC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}&{\;}\\{AD=DC}&{\;}\\{DE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△DFC（SSS），
∴∠EAD=∠FDC．
∴∠BAD+∠EAD=∠ADC+∠FDC．
即∠BAE=∠ADF．
在△BAE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{BA=AD}&{\;}\\{∠BAE=∠ADF}&{\;}\\{AE=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ADF（SAS）
∴AF=BE，
∴∠ABE=∠DAF．
∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠AMB=90°，
∴AF⊥BE．
（3）所畫圖形如圖3，第（1）問的結(jié)論成立，理由如下：
在△AED和△DFC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}&{\;}\\{AD=DC}&{\;}\\{DE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△DFC（SSS），
∴∠EAD=∠FDC．
∴∠BAD+∠EAD=∠ADC+∠FDC．即∠BAE=∠ADF．
在△BAE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{BA=AD}&{\;}\\{∠BAE=∠ADF}&{\;}\\{AE=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴AF=BE，
∴∠ABE=∠DAF．
∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠AMB=90°，
∴AF⊥BE．

點(diǎn)評 本題是四邊形綜合題目，考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．