Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接DE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若EC=3，BD=2$\sqrt{6}$，求AC的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用垂徑定理、直角三角形的性質(zhì)證明∠ODE=90°即可解決問題；
（2）由切割線定理可求出AB的長(zhǎng)，再由勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）證明：連接CD，OD，
∵AC是直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDB=90°，
又∵EB=EC，
∴DE為直角△DCB斜邊的中線，
∴DE=CE=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠DCE=∠CDE，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切線；
（2）∵EC=3，BC=6，BC是圓的切線，
∴BC²=BD•BA，
即（2CE）²=BD•BA，
∴AB=3$\sqrt{6}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用．