Question

20．如圖，平面直角坐標系中，分別以點A（-2，3），B（3，4）為圓心，以1、3為半徑作⊙A、⊙B，M、N分別是⊙A、⊙B上的動點，P為x軸上的動點，則PM+PN的最小值等于$\sqrt{74}$-4．

Answer 1

分析 作⊙A關于x軸的對稱⊙A′，連接BA′分別交⊙A′和⊙B于M、N，交x軸于P，如圖，根據(jù)兩點之間線段最短得到此時PM+PN最小，再利用對稱確定A′的坐標，接著利用兩點間的距離公式計算出A′B的長，然后用A′B的長減去兩個圓的半徑即可得到MN的長，即得到PM+PN的最小值．

解答 解：作⊙A關于x軸的對稱⊙A′，連接BA′分別交⊙A′和⊙B于M、N，交x軸于P，如圖，
則此時PM+PN最小，
∵點A坐標（-2，3），
∴點A′坐標（-2，-3），
∵點B（3，4），
∴A′B=$\sqrt{（3+2）^{2}+（4+3）^{2}}$=$\sqrt{74}$，
∴MN=A′B-BN-A′M=$\sqrt{74}$-3-1=$\sqrt{74}$-4，
∴PM+PN的最小值為$\sqrt{74}$-4．
故答案為$\sqrt{74}$-4．

點評 本題考查了圓的綜合題：掌握與圓有關的性質(zhì)和關于x軸對稱的點的坐標特征；會利用兩點之間線段最短解決線段和的最小值問題；會運用兩點間的距離公式計算線段的長；理解坐標與圖形性質(zhì)．