Question

11．操作與證明：
把一個含45°角的直角三角板BEF和一個正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點和正方形的頂點B重合，點E，F(xiàn)分別在正方形的邊CB，AB上，易知：AF=CE，AF⊥CE．（如圖1）（不要證明）
（1）將圖1中的直角三角板BEF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)α度（0＜α＜45），連接AF，CE，（如圖2），試證明：AF=CE，AF⊥CE．
猜想與發(fā)現(xiàn)：
（2）將圖2中的直角三角板BEF繞點B順時針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，使BF落在BC邊上，連接AF，CE，（如圖3），點M，N分別為AF，CE的中點，連接MB，BN．
①MB，BN的數(shù)量關(guān)系是相等；
②MB，BN的位置關(guān)系是垂直．
變式與探究：
（3）圖1中的直角三角板BEF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)180°，點M，N分別為DF，EF的中點，連接MA，MN，（如圖4），MA，MN的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系又如何？為什么？

Answer 1

分析 （1）延長AF交EC于G，交BC于H，利用正方形ABCD的性質(zhì)和等腰△BEF的性質(zhì)，證明△ABF≌△CBE，得到AF=CE，∠BAF=∠BCE，根據(jù)∠BAF+AHB=90°，∠AHB=∠CHG，所以∠BCE+∠CHG=90°，即可解答．
（2）①MB，BN的數(shù)量關(guān)系是相等；②MB，BN的位置關(guān)系是垂直；
（3）MA=MN，MA⊥MN，理由：如圖4，連接DE，利用正方形ABCD的性質(zhì)和等腰△BEF的性質(zhì)，證明△ADF≌△CDE，得到DF=DE，∠1=∠2，利用在Rt△ADF中，點M是DF的中點，得到MA=$\frac{1}{2}$DF=MD=MF，再利用中位線的性質(zhì)，得到得到MN=$\frac{1}{2}$DE，MN∥DE，通過角之間的等量代換和三角形內(nèi)角和，得到∠6=90°，從而得到∠7=∠6=90°，即可解答．

解答 解：（1）如圖2，延長AF交EC于G，交BC于H，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABF+∠FBC=90°，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=BF，∠EBF=90°，
∴∠CBE+∠FBC=90°，
∴∠ABF=∠CBE，
在△ABF和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABF=∠CBE}\\{BF=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBE，
∴AF=CE，∠BAF=∠BCE，
∵∠BAF+AHB=90°，∠AHB=∠CHG，
∴∠BCE+∠CHG=90°，
∴AF⊥CE．
（2）①相等；②垂直．
故答案為：相等，垂直．
（3）MA=MN，MA⊥MN，
理由：如圖4，連接DE，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
∵∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=BF，∠EBF=90°，
∵點E、F分別在正方形CB、AB的延長線上，
∴AB+BF=CB+BE，即AF=CE，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠DAF=∠DCE}\\{AF=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CDE，
∴DF=DE，∠1=∠2，
在Rt△ADF中，
∵點M是DF的中點，
∴MA=$\frac{1}{2}$DF=MD=MF，
∴∠1=∠3，
∵點N是EF的中點，
∴MN是△DEF的中位線，
∴MN=$\frac{1}{2}$DE，MN∥DE，
∴MA=MN，∠2=∠3，
∵∠2+∠4=∠ABC=90°，∠4=∠5，
∴∠3+∠5=90°，
∴∠6=180°-（∠3+∠5）=90°，
∴∠7=∠6=90°，MA⊥MN．

點評 本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明三角形全等，得到相等的邊與角，作輔助線也是解決本題的關(guān)鍵．