Question

11．為創(chuàng)建生態(tài)文明城市，某小區(qū)將一塊長60米，寬40米的矩形空地，計劃修筑成兩塊相同的綠色植物園，兩塊綠色植物園之間及周邊留有寬度相同的人行通道（如圖1所示），設(shè)人行通道寬為a米，小區(qū)經(jīng)過與某園林公司協(xié)商修建道路費用為10萬元，但修建綠色植物園的造價y（萬元）與修建面積x（米²）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，如果小區(qū)決定由該公司修建此工程，并且要求道路的寬度不少于4米但不要超過10米
（1）用含a的式子表示綠色植物園的面積S（米²）；
（2）如果人行通道的面積是864米²，求人行通道寬度；
（3）寫出工程總造價W（萬元）與人行通道的寬a（米）之間的函數(shù)關(guān)系，并求當人行通道寬為多少米時，工程總造價最低，最低造價為多少萬元？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的面積公式列出即可；
（2）根據(jù)綠色植物園的面積S等于矩形面積減去人行道的面積，列出一元二次方程，再進行求解即可得出答案；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象求得0≤x＜10和x≥10時y關(guān)于x的函數(shù)解析式，根據(jù)總造價=道路造價+綠化帶造價，并結(jié)合（1）中所得解析式得出w關(guān)于a的解析式，由a的范圍得出最值即可得．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：S=（60-3a）（40-2a）=6a²-240a+2400（4≤a≤10）；

（2）根據(jù)綠色植物園的面積S等于矩形面積減去人行道的面積得：6a²-240a+2400=60×40-864，
解得：a₁=4，a₂=36＞10（舍去），
∴人行通道寬度為4米；

（3）

設(shè)OA的解析式為y₁=kx，
把x=600、y=48代入，得：600k=48，
∴k=$\frac{2}{25}$，
∴y₁=$\frac{2}{25}$x（0＜x≤600），
設(shè)AB的解析式為y₂=kx+b，
把x=600、y=48，x=1200、y=72，代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{600k+b=48}\\{1200k+b=72}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{25}}\\{b=24}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{25}$x+24，
∴w₁=y₁+10=$\frac{2}{25}$x+10=$\frac{2}{25}$（6a²-240a+2400）+10=$\frac{12}{25}$（a-20）²+10（4≤a≤10）；
∵0≤6a²-240a+2400≤600，
解得：10≤a≤20，
∴a=10時，w₁=$\frac{12}{25}$（10-20）²+10=58；
w₂=y₂+10=$\frac{1}{25}$x+24+10=$\frac{1}{25}$（6a²-240a+2400）+24+10=$\frac{6}{25}$（a-20）²+34，
∵6a²-240a+2400≥600，
∴a≤10或a≥30，
∵當a＜20時，w₂隨a的增大而減小，且4≤a≤10，
∴當a=10時，w₂取得最小值，w₂=$\frac{6}{25}$（10-20）²+34=58，
綜上，求當人行通道寬為10米時，工程總造價最低，最低造價為58萬元．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)分段函數(shù)圖象得出其解析式并結(jié)合（1）中解析式得出總造價關(guān)于道路寬度的解析式是解題的關(guān)鍵．