Question

6．已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，AD=8，sin∠BCD=$\frac{4}{5}$，CE平分∠BCD，交邊AD于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)BE并延長(zhǎng)，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．
（1）求梯形ABCD的周長(zhǎng)；
（2）求PE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）過(guò)D作DF⊥BC于F，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到DF=AB=4，BF=AD=8，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到CD=5，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEC=∠BCE，根據(jù)角平分線的定義得到∠DCE=∠BCE，等量代換得到∠DEC=∠DCE，于是得到DE=CD=5，由勾股定理得到BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=5，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）過(guò)D作DF⊥BC于F，
則四邊形ABFD是矩形，
∴DF=AB=4，BF=AD=8，
∵sin∠BCD=$\frac{DF}{CD}$=$\frac{4}{5}$，
∴CD=5，
∴CF=3，
∴梯形ABCD的周長(zhǎng)=4+8+3+5+8=28；

（2）∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=CD=5，
∴AE=3，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=5，
∵DE∥BC，
∴△PED∽△PBC，
∴$\frac{PE}{PB}=\frac{DE}{BC}$，
即$\frac{PE}{PE+5}=\frac{5}{11}$，
∴PE=$\frac{25}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．