Question

15．已知△ABC的三邊AB=11cm，AC=7cm，BC=6cm，AD、AD′是內(nèi)、外角平分線，求DD′的長．

Answer 1

分析 過A作AM⊥BC于M，過C作CE⊥AB于E，過D作DF⊥AB于F，設(shè)AE=x，由勾股定理得；AC²-AE²=BC²-BE²，求出AE=$\frac{67}{11}$，BE=$\frac{54}{11}$，于是得到CE=$\sqrt{A{C}^{2}-A{E}^{2}}$=$\frac{12\sqrt{10}}{11}$根據(jù)三角形的面積公式得到$\frac{1}{2}$AM•BC=$\frac{1}{2}$AB•CE，求出AM=2$\sqrt{10}$，根據(jù)角平分線定理得到$\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{AB}=\frac{7}{11}$求出CD=$\frac{7}{3}$，BD=$\frac{11}{3}$由△BDF∽△BCE，得到$\frac{BD}{BC}=\frac{DF}{CE}=\frac{BF}{BE}$得到F=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，BF=3，根據(jù)勾股定理得到AD²=DF²+AF²=$\frac{616}{9}$，DM=$\sqrt{B{D}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{16}{3}$根據(jù)射影定理得到AD²=DM•DD′，于是得到結(jié)果．

解答 解：過A作AM⊥BC于M，過C作CE⊥AB于E，過D作DF⊥AB于F，
設(shè)AE=x，
由勾股定理得；AC²-AE²=BC²-BE²，
即7²-x²=6²-（11-x）²，
解得：x=$\frac{67}{11}$，
∴AE=$\frac{67}{11}$，BE=$\frac{54}{11}$，
∴CE=$\sqrt{A{C}^{2}-A{E}^{2}}$=$\frac{12\sqrt{10}}{11}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AM•BC=$\frac{1}{2}$AB•CE，
∴AM=2$\sqrt{10}$，
∵AD平分∠CAB，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{AB}=\frac{7}{11}$，
∵CD+BD=BC=6，
∴CD=$\frac{7}{3}$，BD=$\frac{11}{3}$，
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴DF∥CE，
∴△BDF∽△BCE，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{DF}{CE}=\frac{BF}{BE}$，
∴DF=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，BF=3，
∴AD²=DF²+AF²=$\frac{616}{9}$，DM=$\sqrt{B{D}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{16}{3}$，
∵AD、AD′是內(nèi)、外角平分線，
∴∠D′AD=90°，
∵AM⊥DD′，
∴AD²=DM•DD′，
∴DD′=$\frac{616}{9}$×$\frac{3}{16}$=$\frac{77}{6}$．

點評 本題考查了角平分線性質(zhì)，角平分線定理，勾股定理，射影定理，三角形的面積的應(yīng)用，能求出△ADB的高是解此題的關(guān)鍵．