Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+$\frac{5}{6}$x+c過點A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x軸正半軸上的一個動點，M是線段AP的中點，將線段MP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段PB．過點B作x軸的垂線、過點A作y軸的垂線，兩直線相交于點D．
（1）求此拋物線的對稱軸；
（2）當(dāng)t為何值時，點D落在拋物線上？
（3）是否存在t，使得以A、B、D為頂點的三角形與△PEB相似？若存在，求此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將A、C兩點坐標(biāo)代入拋物線y=ax²+$\frac{5}{6}$x+c，運用待定系數(shù)法即可求得解析式，然后根據(jù)對稱軸公式求得即可；
（2）先求得M的坐標(biāo)，進而求出點D的坐標(biāo)，然后將D（t+2，4）代入（1）中求出的拋物線的解析式，即可求出t的值；
（3）由于t=8時，點B與點D重合，△ABD不存在，所以分0＜t＜8和t＞8兩種情況進行討論，在每一種情況下，當(dāng)以A、B、D為頂點的三角形與△PEB相似時，又分兩種情況：△BEP∽△ADB與△PEB∽△ADB，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等列出比例式，求解即可．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{64a+\frac{20}{3}+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{6}}\\{c=4}\end{array}\right.$．
故拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4，它的對稱軸為：x=-$\frac{\frac{5}{6}}{2×（-\frac{1}{6}）}$=$\frac{5}{2}$，
（2）由題意得：M（$\frac{t}{2}$，2），（t＞0）．
PB是PM繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°而得，∴E（t+2，0），b（t+2，$\frac{1}{2}$t）．
從而有D（t+2，4）．
假設(shè)D（t+2，4）在拋物線上，有-$\frac{1}{6}$（t+2）²+$\frac{5}{6}$（t+2）+4=4，
解得 t=3或t=-2  
∵t＞0，
∴t=3，即當(dāng)t=3時，點D落在拋物線上．

（3）①當(dāng)0＜t＜8時，如圖1，
BE=$\frac{t}{2}$，PE=2，BD=4-$\frac{t}{2}$，AD=t+2，
若△BEP∽△ADB，
此時∠PBE=∠BAD，∠D=∠E，有：
$\frac{PE}{BE}$=$\frac{BD}{AD}$，即$\frac{2}{\frac{t}{2}}$=$\frac{4-\frac{t}{2}}{t+2}$，
化簡得t²=-16，此時t無解．                              
若△PEB∽△ADB，此時∠BPE=∠BAD，∠D=∠E，有：
$\frac{BE}{PE}$=$\frac{BD}{AD}$，即$\frac{\frac{t}{2}}{2}$=$\frac{4-\frac{t}{2}}{t+2}$，化簡得：t²+4t-16=0，
解得：t=-2±2$\sqrt{5}$．
∵t＞0，
∴t=-2+2$\sqrt{5}$．                        
②當(dāng)t＞8時，如圖2，若△POA∽△ADB
BE=$\frac{t}{2}$，PE=2，BD=$\frac{t}{2}$-4，AD=t+2，
若△BEP∽△ADB，
此時∠PBE=∠BAD，∠D=∠E，有：$\frac{PE}{BE}$=$\frac{BD}{AD}$，即$\frac{2}{\frac{t}{2}}$=$\frac{\frac{t}{2}-4}{t+2}$，
化簡得t²-16t-16=0，
解得t=8±4$\sqrt{5}$（負根舍去）．                       
若△PEB∽△ADB，同理得此時t無解．
綜合上述：當(dāng)t=-2+2$\sqrt{5}$、t=8+4$\sqrt{5}$時，以A、B、D為頂點的三角形與△PEB相似．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)等知識，綜合性較強，難度較大．由相似三角形的判定與性質(zhì)求出點D的坐標(biāo)是解決（2）小題的關(guān)鍵；進行分類討論是解決（3）小題的關(guān)鍵；