Question

17．設(shè)拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動，拋物線與x軸交于C，D兩點(diǎn)（C在D的左側(cè)）．若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-2，3）和（1，3），給出下列結(jié)論：①c＜3；②當(dāng)x＜-3時，y隨x的增大而增大；③若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最大值為5，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最小值為-5；④當(dāng)四邊形ACDB為平行四邊形時，a=-$\frac{4}{3}$．其中正確的是（　　）

• A． ①②④
• B． ①③④
• C． ②③
• D． ②④

Answer 1

分析 根據(jù)頂點(diǎn)在線段AB上拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）可以判斷出c的取值范圍，得到①錯誤；根據(jù)二次函數(shù)的增減性判斷出②正確；先確定x=1時，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)取得最大值，然后根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出此時點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，即可判斷③錯誤；令y=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系與頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)求出CD的長度的表達(dá)式，然后根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判斷出④正確．

解答 解：∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-2，3）和（1，3），
∴線段AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
又∵拋物線的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動，拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c），
∴c≤3，（頂點(diǎn)在y軸上時取“=”），故①錯誤；
∵拋物線的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動，
∴當(dāng)x＜-2時，y隨x的增大而增大，
因此，當(dāng)x＜-3時，y隨x的增大而增大，故②正確；
若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最大值為5，則此時對稱軸為直線x=1，
根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最小值為-2-4=-6，故③錯誤；
根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=3，
令y=0，則ax²+bx+c=0，設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，
則CD²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（-$\frac{a}$）²-4×$\frac{c}{a}$=$\frac{^{2}-4ac}{{a}^{2}}$，
根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=3，
∴$\frac{^{2}-4ac}{a}$=-12，
∴CD²=$\frac{1}{a}$×（-12）=-$\frac{12}{a}$，
∵四邊形ACDB為平行四邊形，
∴CD=AB=1-（-2）=3，
∴-$\frac{12}{a}$=3²=9，
解得a=-$\frac{4}{3}$，故④正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有②④．
故選D．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，主要利用了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的對稱性，根與系數(shù)的關(guān)系，平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識，題目比較難，屬于選擇題中的壓軸題．