Question

6．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，以CE為直徑作⊙O，AB與⊙O相切于點D，連接CD，若BE=OE=3．
（1）求證：∠A=2∠DCB；
（2）求線段AD的長度．

Answer 1

分析 （1）連接OD，求出∠ODB=90°，求出∠B=30°，∠DOB=60°，求出∠DCB度數(shù)，關鍵三角形內(nèi)角和定理求出∠A，即可得出答案；
（2）根據(jù)勾股定理求出BD，設AD為x，利用勾股定理列出方程解答即可．

解答 （1）證明：連接OD，

則∠ODB=90°，
∴∠BOD+∠B=90°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠BOD，
∵OC=OD，
∴∠BOD=2∠DCB，
∴∠A=2∠DCB；
（2）解：如圖，連接AO，

則△ACO≌△ADO，
∴AD=AC，
在△OBD中，BD=$\sqrt{O{B^2}-O{D^2}}$=$3\sqrt{3}$，
設AD=x，則AB=$3\sqrt{3}$+x，AC=x，BC=9，
${（3\sqrt{3}+x）^2}={x^2}+{9^2}$，
∴$x=3\sqrt{3}$，即AD=$3\sqrt{3}$．

點評 本題考查了含30度角的直角三角形性質，勾股定理，扇形的面積，勾股定理，切線的性質等知識點的應用，主要考查學生綜合性運用性質進行推理和計算的能力．