Question

4．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，點(diǎn)E在⊙O外，∠EAC=∠B．
（1）求證：直線AE是⊙O的切線；
（2）若∠D=60°，AB=6時(shí)，求劣弧$\widehat{AC}$的長（結(jié)果保留π）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理可得∠ACB=90°，進(jìn)而可得∠CBA+∠CAB=90°，由∠EAC=∠B可得∠CAE+∠BAC=90°，從而可得直線AE是⊙O的切線；
（2）連接CO，計(jì)算出AO長，再利用圓周角定理可得∠AOC的度數(shù)，然后利用弧長公式可得答案．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CBA+∠CAB=90°，
∵∠EAC=∠B，
∴∠CAE+∠BAC=90°，
即 BA⊥AE．
∴AE是⊙O的切線．

（2）連接CO，
∵AB=6，
∴AO=3，
∵∠D=60°，
∴∠AOC=120°，
∴$\widehat{AC}$=$\frac{120•π•3}{180}$=2π．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了切線的判定和弧長計(jì)算，關(guān)鍵是掌握切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．弧長公式：l=$\frac{nπR}{180}$（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）．