Question

8．已知等腰△ABC中，AB=AC，∠C的平分線與AB邊交于點(diǎn)P，M為△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC邊的切點(diǎn)，作MD∥AC，交⊙O于點(diǎn)D．
（1）證明：PD是⊙O的切線．
（2）如果AB=AC=5，sin∠B=$\frac{3}{5}$，求OC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接AM，根據(jù)⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，且AB=AC可得A、O、M 三點(diǎn)共線，AM⊥BC．再由CP是∠ACB的平分線得出∠ACP=∠BCP．設(shè)∠BCP=α，由直角三角形的性質(zhì)可知∠COM=90°-α．∠AOP=∠COM=90°-α．設(shè)AB切⊙O于F，連接OF，則OF⊥AB．故∠BAM=90°-2α，根據(jù)DM∥AC可用α表示出∠DOM的度數(shù)，連接OD，由三角形內(nèi)角和定理可得出∠POD=90°-3α，故∠FOP=∠DOP．根據(jù)SAS定理可得出△FOP≌△DOP，由此可得出結(jié)論；
（2）在直角三角形ABM中，sin∠B=$\frac{AM}{AB}$=$\frac{3}{5}$可得出AM及BM的長(zhǎng)，由三角形的面積公式可得出OM的長(zhǎng)，由勾股定理可求出OC的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：方法一：如圖1，連接AM．
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，且AB=AC，
∴A、O、M 三點(diǎn)共線，AM⊥BC．
又∵CP是∠ACB的平分線，
∴∠ACP=∠BCP．               
設(shè)∠BCP=α，則∠COM=90°-α．
∴∠AOP=∠COM=90°-α．
設(shè)AB切⊙O于F，連接OF，則OF⊥AB．
又∠BAM=90°-2α，
∴∠AOF=2α．
∴∠FOP=90°-3α． 
又∵DM∥AC，
∴∠DMB=∠ACB=2α．
∴∠DOM=180°-2×（90°-2α）=4α．
連接OD，則∠POD=180°-4α-（90°-α）=90°-3α．
∴∠FOP=∠DOP．
在△FOP與△DOP中，
$\left\{\begin{array}{l}{OF=OD}\\{∠FOP=∠DOP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$
∴△FOP≌△DOP（SAS）．
∴∠PDO=∠PFO=90°．
∴OD⊥PD．
∴PD為⊙O的切線．      
方法二：過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線PE（切點(diǎn)為E）并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)N．
∵CP為∠ACB的平分線，
∴∠ACP=∠BCP．
又∵PA、PE均為⊙O的切線，
∴∠APC=∠NPC．
在△ACP與△NCP中，
$\left\{\begin{array}{l}∠ACP=∠BCP\\∠APC=∠NPC\\ CP=CP\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△NCP（AAS），
∴∠PAC=∠PNC．
∵NM=NE，AB=AC，
∴$\frac{NE}{BA}=\frac{NM}{AC}$．
∴△ENM∽△BAC．
∴∠NME=∠BCA．
∴ME∥AC．
又∵M(jìn)D∥AC，
∴MD和ME為同一條直線．
又點(diǎn)E、D均在⊙O上，所以點(diǎn)E和點(diǎn)D重合，故PD是⊙O的切線．

（2）∵在直角三角形ABM中，sin∠B=$\frac{AM}{AB}=\frac{3}{5}$，AB=5，
∴AM=3．
∴BM=4．
∴BC=2BM=8．
由△ABC面積，得$\frac{1}{2}$BC•AM=$\frac{1}{2}$OM•（AB+BC+CA）．
即$\frac{1}{2}$×8×3=$\frac{1}{2}$×ON×（5+8+5）．
解得OM=$\frac{4}{3}$．                
∴OC=$\sqrt{O{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓的綜合題，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．