Question

5．如圖1，已知四邊形ABCD、AEFG都是正方形，B、D分別在AE、AC邊上，AE=7
（1）如圖2，將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)x^°（0＜x＜90）時(shí)，求證：BE=DG．
（2）如圖3，將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，延長(zhǎng)EB交DG于點(diǎn)M，與AG交點(diǎn)N，求證：EM⊥DG；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)AB=3$\sqrt{2}$時(shí)，求線段EM的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=AD，AE=AG，在根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BAE=∠DAG=θ，然后根據(jù)“SAS”判斷△BAE≌△DAG，則BE=DG；
（2）由BAE≌△DAG得到∠AEB=∠AGD，而∠ANE=∠GNM，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到∠GMN=∠EAN=90°，則EM⊥DG；
（3）連結(jié)BD交AG于點(diǎn)H，連結(jié)GB，如答圖2，由于正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，BD與AC互相垂直平分，且AC在AG上，由AB=3$\sqrt{2}$可得到AH=DH=3，所以GH=7-3=4，然后根據(jù)勾股定理可計(jì)算出DG=5，則BE=5，解著利用S_△DBG=$\frac{1}{2}$BD•GH=$\frac{1}{2}$DG•BM，可計(jì)算出BM，所以EM=BM+BE．

解答 （1）證明：如答圖1，∵四邊形ABCD，AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，
∵正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)x^°（0＜x＜90），
∴∠BAE=∠DAG=x，
在△BAE和△DAG，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAG}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴BE=DG；

（2）證明：∵△BAE≌△DAG，
∴∠AEB=∠AGD，
又∵∠ANE=∠GNM，
∴∠GMN=∠EAN=90°，
∴EM⊥DG；

（3）解：連結(jié)BD交AG于點(diǎn)H，連結(jié)GB，如答圖2，
∵正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，
∴BD與AC互相垂直平分，且AC在AG上，
∵AB=3$\sqrt{2}$
∴AH=DH=3，
∴GH=7-3=4，
在Rt△GHD中，DG=$\sqrt{D{H}^{2}+G{H}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；
∴BE=5，
∵S_△DBG=$\frac{1}{2}$BD•GH=$\frac{1}{2}$DG•BM，
∴BM=$\frac{BD•GH}{DG}$=$\frac{6×4}{5}$=$\frac{24}{5}$，
∴EM=BM+BE=$\frac{24}{5}$+5=9.8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用三角形全等的知識(shí)解決線段相等的問題；會(huì)運(yùn)用勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行幾何計(jì)算．