Question

9．已知二次函數(shù)y=x²-2mx+m²+3（m是常數(shù)）．
（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)；
（2）把該函數(shù)的圖象沿y軸向下平移多少個(gè)單位長度后，得到的函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)？
（3）將拋物線y=x²-2mx+m²+3（m是常數(shù)）圖象在對稱軸左側(cè)部分沿直線y=3翻折得到新圖象為G，若與直線y=x+2有三個(gè)交點(diǎn)，請直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出根的判別式，即可得出答案；
（2）先化成頂點(diǎn)式，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)和平移的性質(zhì)得出即可．
（3）求出翻折后所得圖象的解析式，然后分別求出原圖象和直線，翻折后所得圖象與直線有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)的m的值，即可求得新圖象為G與直線y=x+2有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)的m的取值．

解答 （1）證明：∵△=（-2m）²-4×1×（m²+3）=4m²-4m²-12=-12＜0，
∴方程x²-2mx+m²+3=0沒有實(shí)數(shù)解，
即不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)；

（2）解：y=x²-2mx+m²+3=（x-m）²+3，
把函數(shù)y=（x-m）²+3的圖象沿y軸向下平移3個(gè)單位長度后，得到函數(shù)y=（x-m）²的圖象，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（m，0），
因此，這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以，把函數(shù)y=x²-2mx+m²+3的圖象沿y軸向下平移3個(gè)單位長度后，得到的函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．

（3）翻折后所得圖象的解析式y(tǒng)=-（x-m）²+3，
①當(dāng)直線y=x+2與拋物線y=x²-2mx+m²+3有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y={x}^{2}-2mx+{m}^{2}+3}\end{array}\right.$，
整理得，x²-（2m+1）x+m²+1=0
∴△=（2m+1）²-4（m²+1）=0，即m=$\frac{3}{4}$．
②當(dāng)直線y=x+2與拋物線y=-（x-m）²+3有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=-（x-m）^{2}+3}\end{array}\right.$，
整理得，x²-（2m-1）x+m²-1=0，
∴△=（2m-1）²-4（m²-1）=0，即m=$\frac{5}{4}$．
∴當(dāng)$\frac{3}{4}$＜m＜$\frac{5}{4}$時(shí)，新圖象為G，與直線y=x+2有三個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)和x軸的交點(diǎn)問題，根的判別式，平移的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與幾何變換的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，題目比較好，有一定的難度．