Question

10．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若將此拋物線向下平移h個(gè)單位長度，使平移后的拋物線頂點(diǎn)落在Rt△BOC內(nèi)（包括△BOC邊界），求h的范圍；
（3）試問在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使∠OPA+∠OCA=∠CBA？若存在，求出CP之長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求出拋物線解析式；
（2）先將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式，進(jìn)而得出平移后的拋物線解析式，再確定出直線BC的解析式，進(jìn)而確定出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，即可得出h的范圍；
（3）分點(diǎn)P在y軸正半軸和負(fù)半軸兩種情況，①判斷出△COA～△CDP得出比例式即可得出結(jié)論；
②借助①和軸對稱即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）將A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為：y=-x²+2x+3，

（2）由（1）得，
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+3，
平移后的拋物線為：y=-（x-1）²+3-h，
∴平移后的拋物線頂點(diǎn)為（1，3-h），
設(shè)直線BC的解析式為：y=mx+n，
將B（3，0）、C（0，3）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
當(dāng)x=1時(shí)，y=2，
∴N（1，0），M（1，2），
由圖頂點(diǎn)（1，3-h）在MN間移動(dòng)，
∴1≤3-h≤2，
∴2≤h≤3，

（3）存在，
理由：①當(dāng)P在y軸負(fù)半軸上時(shí)，如圖，
過點(diǎn)P作AC的垂線，垂足為D，
∵∠OPA+∠OCA=∠PAD，
又∵∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°，
∴∠PAD=∠CBA=45°，
∴AD=PD，
∵AO=1，CO=3，
∴AC=$\sqrt{10}$，
設(shè)AD=PD=x，則CD=AC+AD=x+$\sqrt{10}$，
又∵∠PDA=∠COA=90°，∠PCD=∠ACO，
∴△COA～△CDP，
∴$\frac{CO}{CD}=\frac{AO}{PD}=\frac{AC}{PC}$，
∴$\frac{3}{x+\sqrt{10}}=\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{10}}{PC}$，
∴x=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，PC=$\sqrt{10}$x=5，
PO=PC-OC=5-3=2；                        
②當(dāng)P₁在y軸正半軸上時(shí)，取OP₁=OP=2，如圖，
則由對稱知：∠OP₁A=∠OPA，P₁O=PO=2，
∴∠OP₁A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA═45°，
同理P₁也滿足題目條件，∴P₁C=OC-OP₁=3-2=1，
綜合以上得：PC=5或1．

點(diǎn)評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平移的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解（2）的關(guān)鍵是判斷出平移后的拋物線的解析式，解（3）的關(guān)鍵是判斷出△COA～△CDP，是一道中等難度的題目．