Question

7．直角△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D、E分別是△ABC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，令∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）若點(diǎn)P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α=50°，則∠1+∠2的度數(shù)；
（2）如圖（2）所示，若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出∠α、∠1、∠2之間的數(shù)量關(guān)系關(guān)系：∠1+∠2=90+∠α；
（3）如圖（3）所示，若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)直接寫出∠α、∠1、∠2之間的數(shù)量關(guān)系關(guān)系：∠1=90°+∠2+∠α；
（4）如圖（4）所示，若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC形外，請(qǐng)直接寫出∠α、∠1、∠2之間的數(shù)量關(guān)系：∠2=90°+∠1-∠α．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理求出∠CDP+∠CEP的度數(shù)，根據(jù)鄰補(bǔ)角求出∠1+∠2=360°-（∠CDP+∠CEP），代入求出即可；
（2）根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理求出∠CDP+∠CEP的度數(shù)，根據(jù)鄰補(bǔ)角求出∠1+∠2=360°-（∠CDP+∠CEP），代入求出即可；
（3）根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠COD=∠2+∠α，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C+∠COD+∠CDO=180°，根據(jù)鄰補(bǔ)角得出∠CDO=∠180°-∠1，推出∠2+∠α+180°-∠1+90°=180°即可；
（4）根據(jù)鄰補(bǔ)角得出∠CDP=180°-∠1，∠CEO=180°-∠2，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠POD+∠α+∠PDO=∠C+∠CEO+∠COE=180°，求出∠α+180°-∠1=90°+180°-∠2，即可得出答案．

解答 解：（1）如圖1，
∵∠CDP+∠CEP=360°-∠DPE-∠C=360°-50°-90°=220°，
∴∠1+∠2=180°-∠CDP+180°-∠CEP
=360°-（∠CDP+∠CEP）
=140°；

（2）
如圖2，∠1+∠2=90°+∠α，
理由是：∵∠CDP+∠CEP=360°-∠DPE-∠C=360°-∠α-90°=270°-∠α，
∴∠1+∠2=180°-∠CDP+180°-∠CEP
=360°-（∠CDP+∠CEP）
=360°-（270°-∠α）
=90°+∠α，
故答案為：90°+∠α；

（3）∠1=90°+∠2+∠α，
理由是：如圖3，
∵∠COD=∠2+∠α，∠C+∠COD+∠CDO=180°，∠CDO=∠180°-∠1，∠C=90°，
∴∠2+∠α+180°-∠1+90°=180°，
∴∠1=90°+∠2+∠α，
故答案為：∠1=90°+∠2+∠α；

（4）∠2=90°+∠1-∠α，
理由是：如圖4，
∵∠CDP=180°-∠1，∠POD+∠α+∠PDO=∠C+∠CEO+∠COE=180°，∠COE=∠POD，∠C=90°，∠CEO=180°-∠2，
∴∠α+180°-∠1=90°+180°-∠2，
∴∠2=90°+∠1-∠α，圖
故答案為：∠2=90°+∠1-∠α．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了鄰補(bǔ)角定義，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，題目比較典型，難度適中．