Question

16．如圖，已知⊙O的半徑為5，PA是⊙O的一條切線，切點(diǎn)為A，連接PO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)B，過點(diǎn)A作AC⊥PB交⊙O于點(diǎn)C、交PB于點(diǎn)D，連接BC，當(dāng)∠P=30°時(shí)，
（1）求弦AC的長(zhǎng)；
（2）求證：BC∥PA．

Answer 1

分析 （1）連接OA，由于PA是⊙O的切線，從而可求出∠AOD=60°，由垂徑定理可知：AD=DC，由銳角三角函數(shù)即可求出AC的長(zhǎng)度．
（2）由于∠AOP=60°，所以∠BOA=120°，從而由圓周角定理即可求出∠BCA=60°，從而可證明BC∥PA

解答 解：（1）連接OA，
∵PA是⊙O的切線，
∴∠PAO=90°
∵∠P=30°，
∴∠AOD=60°，
∵AC⊥PB，PB過圓心O，
∴AD=DC
在Rt△ODA中，AD=OA•sin60°=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$
∴AC=2AD=5$\sqrt{3}$
（2）∵AC⊥PB，∠P=30°，
∴∠PAC=60°，
∵∠AOP=60°
∴∠BOA=120°，
∴∠BCA=60°，
∴∠PAC=∠BCA
∴BC∥PA

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合問題，涉及切線的性質(zhì)，解直角三角形，平行線的判定等知識(shí)，綜合程度較高，屬于中等題型．