Question

20．（1）如圖1，將直角的頂點(diǎn)E放在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，使角的一邊交CD于點(diǎn)F，另一邊交CB或其延長線于點(diǎn)G，求證：EF=EG；
（2）如圖2，將（1）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，其他條件不變．若AB=m，BC=n，試求$\frac{EF}{EG}$的值；
（3）如圖3，將直角頂點(diǎn)E放在矩形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，EF、EG分別交CD與CB于點(diǎn)F、G，且EC平分∠FEG．若AB=2，BC=4，求EG、EF的長．

Answer 1

分析 （1）首先過點(diǎn)E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為H、P，然后利用ASA證得Rt△FEP≌Rt△GEH，則問題得證；
（2）首先過點(diǎn)E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為M、N，易證得EM∥AB，EN∥AD，則可證得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，證得△GME∽△FNE，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案；
（3）過點(diǎn)E作EM⊥BC于M，過點(diǎn)E作EN⊥CD于N，垂足分別為M、N，過點(diǎn)C作CP⊥EG交EG的延長線于點(diǎn)P，過點(diǎn)C作CQ⊥EF垂足為Q，可得四邊形EPCQ是矩形，四邊形EMCN是矩形，可得EC平分∠FEG，可得矩形EPCQ是正方形，然后易證△PCG≌△QCF（AAS），進(jìn)而可得：CG=CF，由（2）知：$\frac{EF}{EG}=\frac{EN}{EM}$=$\frac{BC}{AB}$=2，進(jìn)而可得：EF=2EG，然后易證EM和EN分別是△ABC和△BCD的中位線，進(jìn)而可得：EM=1，EN=2，MC=2，CN=1，然后易證△EMG∽△ENF，進(jìn)而可得$\frac{MG}{NF}=\frac{EM}{EN}=\frac{1}{2}$，即NF=2MG，然后設(shè)MG=x，根據(jù)CG=CF，列出方程即可解出x的值，即MG的值，然后在Rt△EMG中，由勾股定理即可求出EG的值，進(jìn)而可得EF的值．

解答 （1）證明：如圖1，過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，過點(diǎn)E作EP⊥CD于P，

∵四邊形ABCD為正方形，
∴CE平分∠BCD，
又∵EH⊥BC，EP⊥CD，
∴EH=EP，
∴四邊形EHCP是正方形，
∴∠HEP=90°，
∵∠GEH+∠HEF=90°，∠PEF+∠HEF=90°，
∴∠PEF=∠GEH，
∴Rt△FEP≌Rt△GEH，
∴EF=EG；
（2）解：如圖2，過點(diǎn)E作EM⊥BC于M，過點(diǎn)E作EN⊥CD于N，垂足分別為M、N，
則∠MEN=90°，
∴EM∥AB，EN∥AD．
∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，
∴$\frac{NE}{AD}=\frac{CE}{CA}$，$\frac{EM}{AB}=\frac{CE}{CA}$，
∴$\frac{NE}{AD}=\frac{EM}{AB}$，
即$\frac{EN}{EM}=\frac{AD}{AB}=\frac{CB}{AB}=\frac{n}{m}$．
∴$\frac{EF}{EG}=\frac{EN}{EM}$，
∴$\frac{EF}{EG}=\frac{n}{m}$；
（3）解：如圖3，

過點(diǎn)E作EM⊥BC于M，過點(diǎn)E作EN⊥CD于N，垂足分別為M、N，
過點(diǎn)C作CP⊥EG交EG的延長線于點(diǎn)P，過點(diǎn)C作CQ⊥EF垂足為Q，
則四邊形EPCQ是矩形，四邊形EMCN是矩形，
∵EC平分∠FEG，
∴CQ=CP，
∴矩形EPCQ是正方形，
∴∠QCP=90°，
∴∠QCG+∠PCG=90°，
∵∠QCG+∠QCF=90°，
∴∠PCG=∠QCF，
在△PCG和△QCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCG=∠QCF}\\{∠CPG=∠CQF=90°}\\{PC=CQ}\end{array}\right.$，
∴△PCG≌△QCF（AAS），
∴CG=CF，
由（2）知：$\frac{EF}{EG}=\frac{EN}{EM}$=$\frac{BC}{AB}$，
∵BC=4，AB=2，
∴$\frac{EF}{EG}=\frac{EN}{EM}$=$\frac{BC}{AB}$=2，
∴EF=2EG，
∵點(diǎn)E放在矩形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，
∴EM和EN分別是△ABC和△BCD的中位線，
∴EM=$\frac{1}{2}$AB=1，EN=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}BC$=2，MC=$\frac{1}{2}BC=2$，CN=$\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB=1$，
∵四邊形EMCN是矩形，
∴∠NEM=90°，
∴∠MEG+∠GEN=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠FEN+∠GEN=90°，
∴∠MEG=∠FEN，
∵∠EMG=∠FNE=90°，
∴△EMG∽△ENF，
∴$\frac{MG}{NF}=\frac{EM}{EN}=\frac{1}{2}$，
即NF=2MG，
設(shè)MG=x，則NF=2x，CG=2-x，CF=1+2x，
∵CG=CF，
∴2-x=1+2x，
解得：x=$\frac{1}{3}$，
∴MG=$\frac{1}{3}$，
在Rt△EMG中，由勾股定理得：
EG=$\sqrt{E{M}^{2}+M{G}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∵EF=2EG，
∴EF=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正方形，矩形的性質(zhì)，以及全等三角形與相似三角形的判定與性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．