Question

5．【回顧】我們學(xué)習(xí)了三角形的全等，知道了判定兩個三角形全等的基本事實有“SAS”、“ASA”、“SSS”，以及由事實得到的推論“AAS，我們還得到一個定理“HL”，下面對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等”的情形進行研究．
【思考】
我們將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對∠B進行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究．
【探究】

（1）第一種情況：當(dāng)∠B是直角時，△ABC與DEF．是否全等全等，如圖①，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù)HL，可以知道R_t△ABC≌R_t△DEF．
（2）第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF．如圖②，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠ABC=∠DEF，且∠ABC，∠DEF都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF（請你繼續(xù)完成證明過程）．
證明：如圖，過C作CG⊥AB交AB的延長線于點G，過F作FH⊥DE交DE的延長線于點H，
（3）第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時，即在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是銳角．△ABC和△DEF是否全等，請你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，驗證你的結(jié)論．（不寫作法，保留作圖痕跡）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形全等的判定定理“HL”即可得到結(jié)論；
（2）過點C作CG⊥AB交AB的延長線于點G，過點F作DH⊥DE交DE的延長線于點H，先證明△CBG≌△FEH，得出CG=FH，再證明Rt△ACG≌Rt△DFH，得出∠A=∠D，再由AAS即可證出△ABC≌△DEF；
（3）以C為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于D；則DF=AC，△DEF≌△ABC，△D′EF和△ABC不全等．

解答 解：（1）答：全等；在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù)“HL“，可以知道R_t△ABC≌R_t△DEF；
故答案為：全等，HL，R_t△ABC≌R_t△DEF；

（2）證明：∵∠B=∠E，
∴180°-∠B=180°-∠E，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBG=∠FEH}\\{∠G=∠H=90°}\\{BC=EF}\end{array}\right.$，
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=DF}\\{CG=FH}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{∠B=∠E}\\{AC=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．

（3）第三種情況：如圖所示：
以C為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于D；
則DF=AC，△DEF≌△ABC，△D′EF和△ABC不全等．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握三角形全等的判定方法，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．