Question

18．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標分別為（12，0）、（12，6），直線y=kx+12與y軸交于點P，與邊OA交于點D，與邊BC交于點E．
（1）若tan∠PDO=$\frac{3}{2}$，求k的值；
（2）在（1）的條件下，當直線y=kx+12繞點P順時針旋轉(zhuǎn)時，與直線BC和x軸分別交于點N、M，問：是否存在NO平分∠CNM的情況？若存在，求線段DM的長；若不存在，請說明理由；
（3）在（1）的條件下，將矩形OABC沿DE折疊，若點O落在邊BC上，求出該點坐標；若不在邊BC上，求將（1）中的直線沿y軸怎樣平移，使矩形OABC沿平移后的直線折疊，點O恰好落在邊BC上．

Answer 1

分析 （1）由直線y=kx+12經(jīng)過點（0，12）且tan∠PDO=$\frac{3}{2}$，求得D（8，0），把D（8，0）代入y=kx+12得，即可得到結(jié)果；
（2）如圖1假設(shè)存在ON平分∠CNM的情況，①當直線PM與邊BC和邊OA相交時，過O作OH⊥PM于H由ON平分∠CNM，OC⊥BC，得到OH=OC=6，由（1）知OP=12，得到∠OPM=30°由三角函數(shù)的定義求得OM=OP•tan30°=4$\sqrt{3}$，DM=8-4$\sqrt{3}$；②當直線PM與直線BC和x軸相交時同上可得DM=8$+4\sqrt{3}$；
（3）如圖2假設(shè)沿DE將矩形OABC折疊，點O落在邊BC上O′處連接PO′、OO′，則有PO′=OP，由（1）得BC垂直平分OP，得到△OPO′為等邊三角形，求出∠OPD=30°，而由（2）知∠OPD＞30°所以沿DE將矩形OABC折疊，點O不可能落在邊BC上，如圖3設(shè)沿直線y=-$\frac{3}{2}$+a，將矩形OABC折疊，點O恰好落在邊BC上O′處，連接P′O′、OO′，則有P′O′=OP′=a由題意得CP′=a-6，∠OPD=∠AO′O在Rt△OPD中，tan∠OPD=$\frac{OD}{OP}$，在Rt△OAO′中，tan∠AO′O=$\frac{OA}{AO′}$，根據(jù)三角函數(shù)值相等得到$\frac{OD}{OP}=\frac{OA}{AO′}$即在Rt△AP′O′中，由勾股定理得（a-6）²+9²=a²，解得a=$\frac{39}{4}$，12-a=$\frac{9}{4}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵直線y=kx+12經(jīng)過點（0，12）且tan∠PDO=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{PO}{DO}$=$\frac{3}{2}$，
∴OD=8，∴D（8，0），
把D（8，0）代入y=kx+12得，0=8k+12，
∴k=-$\frac{3}{2}$；

（2）如圖1假設(shè)存在ON平分∠CNM的情況，
①當直線PM與邊BC和邊OA相交時，過O作OH⊥PM于H
∵ON平分∠CNM，OC⊥BC，
∴OH=OC=6
由（1）知OP=12，∴∠OPM=30°
∴OM=OP•tan30°=4$\sqrt{3}$，∵OD=8，
∴DM=8-4$\sqrt{3}$；
②當直線PM與直線BC和x軸相交時
同上可得DM=8$+4\sqrt{3}$；

（3）如圖2假設(shè)沿DE將矩形OABC折疊，點O落在邊BC上O′處連接PO′、OO′，則有PO′=OP，
由（1）得BC垂直平分OP，∴PO′=OO′，
∴△OPO′為等邊三角形，∴∠OPD=30°，
而由（2）知∠OPD＞30°，
所以沿DE將矩形OABC折疊，點O不可能落在邊BC上，
如圖3設(shè)沿直線y=-$\frac{3}{2}$+a，將矩形OABC折疊，點O恰好落在邊BC上O′處，
連接P′O′、OO′，則有P′O′=OP′=a
由題意得：CP′=a-6，∠OPD=∠CO′O
在Rt△OPD中，tan∠OPD=$\frac{OD}{OP}$，
在Rt△OCO′中，tan∠CO′O=$\frac{OC}{CO′}$，
∴$\frac{OD}{OP}=\frac{OC}{CO′}$，∴CO′=9，
在Rt△CP′O′中，由勾股定理得：（a-6）²+9²=a²，
解得a=$\frac{39}{4}$，12-a=$\frac{9}{4}$，
所以將直線y=-$\frac{3}{2}$x+12沿y軸向下平移$\frac{9}{4}$個單位得直線y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{39}{4}$，將矩形OABC沿直線y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{39}{4}$，折疊，點O恰好落在邊BC上．

點評 本題考查了求點的坐標，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，圖形的變換-折疊問題，三角形函數(shù)，平移變換，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．