Question

7．如圖，拋物線(xiàn)y=x²+bx+c與x軸交于A(yíng)（-2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）點(diǎn)P在線(xiàn)段OC上，過(guò)點(diǎn)P與x軸平行的直線(xiàn)交AC于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，且MN=4，求線(xiàn)段ON的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得CN與CB的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得CB的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）∵拋物線(xiàn)y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4-2b+c=0}\\{36+6b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=-12}\end{array}\right.$．
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=x²-4x-12；
（2）∵OA=2，OB=6，
∴AB=OA+OB=8．
∵M(jìn)N∥AB，MN=4，
∴△CMN∽△CAB，
∴$\frac{MN}{AB}$=$\frac{CN}{CB}$=$\frac{4}{8}$，
∴$\frac{CN}{CB}$=$\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)N為CB的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，-12）
∴OC=12，
在Rt△COB中，根據(jù)勾股定理得：
CB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+1{2}^{2}}$=6$\sqrt{5}$，
∴ON=$\frac{1}{2}$BC=3$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出N為BC的中點(diǎn)是解題關(guān)鍵，又利用了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)．