Question

15．如圖①所示，已知A、B為直線l上兩點，點C為直線l上方一動點，連接AC、BC，分別以AC、BC為邊向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，過點D作DD₁⊥l于點D₁，過點E作EE₁⊥l于點E₁．
（1）如圖②，當(dāng)點E恰好在直線l上時（此時E₁與E重合），請直接寫出DD₁與AB之間的數(shù)量關(guān)系：DD₁=AB．
（2）在圖①中，當(dāng)D、E兩點都在直線l的上方時，試探索三條線段DD₁、EE₁、AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）如圖③，當(dāng)點E在直線l的下方時，請直接寫出三條線段DD₁、EE₁、AB之間的數(shù)量關(guān)系：AB=DD₁-EE₁．

Answer 1

分析 （1）由四邊形CADF、CBEG是正方形，可得AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，又由同角的余角相等，求得∠ADD₁=∠CAB，然后利用AAS證得△ADD₁≌△CAB，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可得DD₁=AB；
（2）首先過點C作CH⊥AB于H，由DD₁⊥AB，可得∠DD₁A=∠CHA=90°，由四邊形CADF是正方形，可得AD=CA，又由同角的余角相等，求得∠ADD₁=∠CAH，然后利用AAS證得△ADD₁≌△CAH，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可得DD₁=AH，同理EE₁=BH，則可得AB=DD₁+EE₁．
（3）證明方法同（2），易得AB=DD₁-EE₁．

解答 （1）證明：∵四邊形CADF、CBEG是正方形，
∴AD=CA，∠DAC=∠CBE=90°，
∴∠DAD₁+∠CAB=90°，
∵DD₁⊥AB，
∴∠DD₁A=∠ABC=90°，
∴∠DAD₁+∠ADD₁=90°，
∴∠ADD₁=∠CAB，
在△ADD₁和△CAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D{D}_{1}A=∠ABC}\\{∠AD{D}_{1}=∠CAB}\\{AD=CA}\end{array}\right.$，
∴△ADD₁≌△CAB（AAS），
∴DD₁=AB；
故答案為：DD₁=AB；

（2）解：AB=DD₁+EE₁．
證明：如圖①，過點C作CH⊥AB于H，
∵DD₁⊥AB，
∴∠DD₁A=∠CHA=90°，
∴∠DAD₁+∠ADD₁=90°，
∵四邊形CADF是正方形，
∴AD=CA，∠DAC=90°，
∴∠DAD₁+∠CAH=90°，
∴∠ADD₁=∠CAH，
在△ADD₁和△CAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D{D}_{1}A=∠CHA}\\{∠AD{D}_{1}=∠CAH}\\{AD=CA}\end{array}\right.$，
∴△ADD₁≌△CAH（AAS），
∴DD₁=AH；
同理：EE₁=BH，
∴AB=AH+BH=DD₁+EE₁；

（3）解：AB=DD₁-EE₁．
證明：如圖③，過點C作CH⊥AB于H，
∵DD₁⊥AB，
∴∠DD₁A=∠CHA=90°，
∴∠DAD₁+∠ADD₁=90°，
∵四邊形CADF是正方形，
∴AD=CA，∠DAC=90°，
∴∠DAD₁+∠CAH=90°，
∴∠ADD₁=∠CAH，
在△ADD₁和△CAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D{D}_{1}A=∠CHA}\\{∠AD{D}_{1}=∠CAH}\\{AD=CA}\end{array}\right.$，
∴△ADD₁≌△CAH（AAS），
∴DD₁=AH；
同理：EE₁=BH，
∴AB=AH-BH=DD₁-EE₁，
故答案為：AB=DD₁-EE₁．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，直角三角形的性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．