Question

8．如圖所示，在正方形ABCD中，P，Q分別在邊BC，CD上，PB+QD=PQ，求證：∠PAQ=45°．

Answer 1

分析 將△ADQ繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE=DQ，AE=AQ，∠BAE=∠DAQ，然后求出PE=PQ，再利用“邊邊邊”證明△APE和△APQ全等，根據(jù)全三角形對應(yīng)邊相等可得∠EAP=∠PAQ，再根據(jù)∠BAD=90°即可得到結(jié)果．

解答 證明：如圖，將△ADQ繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BE=DQ，AE=AQ，∠BAE=∠DAQ，
∵PB+QD=PQ，
∴PE=PQ，
在△APE和△APQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AQ}\\{PE=PQ}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△APQ（SAS），
∴∠EAP=∠PAQ，
∴∠DAQ+∠BAP=∠PAQ，
∵四邊形ABCD 是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠PAQ=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．