Question

8．如圖，已知點P是正方形ABCD內(nèi)的一點，連結(jié)PA、PB、PC．若PA=4，PB=2，∠APB=135°，則PC的長為2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)正方形的性質(zhì)得BA=BC，∠ABC=90°，則可把△BAP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBE，連結(jié)PE，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BP=BE=2，CE=AP=4，∠PBE=90°，∠BEC=∠APB=135°，于是可判斷△PBE為等腰直角三角形，所以PE=$\sqrt{2}$PB=2$\sqrt{2}$，∠PEB=45°，則∠PEC=90°，然后在Rt△PEC中利用勾股定理計算PC的長．

解答 解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
把△BAP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBE，連結(jié)PE，如圖，
∴BP=BE=2，CE=AP=4，∠PBE=90°，∠BEC=∠APB=135°，
∴△PBE為等腰直角三角形，
∴PE=$\sqrt{2}$PB=2$\sqrt{2}$，∠PEB=45°，
∴∠PEC=135°-45°=90°，
在Rt△PEC中，∵PE=2$\sqrt{2}$，CE=4，
∴PC=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$．
故答案為2$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)．