Question

2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=$\sqrt{3}$，P為AC邊上一動點，PC=t，以點P為中心，將△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DEF，DE交邊AC于點G；
（1）用含有t的式子填空：DP=3-t；AG=3-$\sqrt{3}$+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$-1）t；
（2）如圖2，當點F在AB上時，求證：PG=PC；
（3）如圖3，當P為DF的中點時，求AG：PG的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得AB的長，根據(jù)勾股定理，可得AC的長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得DP的長，∠D的度數(shù)，根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得PG的長，根據(jù)線段的和差，可得答案；
（2）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得PG與PF的關(guān)系，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得PF與PC的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得答案；
（3）根據(jù)線段中點的性質(zhì)，可得DP的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得PG的長，根據(jù)線段的和差，可得AG的長，根據(jù)比的意義，可得答案．

解答 解：（1）由∠C=90°，∠A=30°，BC=$\sqrt{3}$，得AB=2$\sqrt{3}$，
由勾股定理，得AC=3．
由線段的和差，得AP=AC-PC=3-t，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得DP=AP=3-t，∠D=∠A=30°，
PG=DP•tan∠D=（3-t）×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，
AG=AP-PG=（3-t）-（$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t）=3-$\sqrt{3}$+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$-1）t；
故答案為：3-t，3-$\sqrt{3}$+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$-1）t；
（2）證明：在△APF和△DPG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{AP=DP}\\{∠APF=∠DPG=90°}\end{array}\right.$，
∴△APF≌△DPG（ASA），
∴PF=PG．
∵繞 P旋轉(zhuǎn)C與F點重合，
∴PC=PF，
∴PC=PG；
（3）DF=AC=3，
P為DF的中點，得DP=AP=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{3}{2}$．
PG=DP•tan∠D=$\frac{3}{2}$×tan30°=$\frac{3}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由線段的和差，得
AG=AP-PG=$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\frac{AG}{PG}$=$\frac{\frac{3-\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{3}$-1．

點評 本題考查了幾何變換綜合題，（1）利用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，線段的和差；（2）利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；（3）利用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，線段的和差，比的意義．