Question

8．如圖，將一塊直角三角形紙板的直角頂點(diǎn)放在C（1，$\frac{1}{2}$）處，兩直角邊分別與x，y軸平行，紙板的另兩個(gè)頂點(diǎn)A，B恰好是直線y=kx+b與雙曲線y=$\frac{4}{x}$的交點(diǎn)．
（1）求k和b的值；
（2）設(shè)雙曲線y=$\frac{4}{x}$在A，B之間的部分為L(zhǎng)，讓一把含45°的三角尺的直角頂點(diǎn)P在L上滑動(dòng)，兩直角邊始終與坐標(biāo)軸平行，且與線段AB交于M，N兩點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄渴欠翊嬖邳c(diǎn)P使得MN=$\frac{1}{2}$AB，寫(xiě)出你的探究過(guò)程和結(jié)論；
（3）在（2）的條件下，△MPN 的面積是否存在最大值？若有，請(qǐng)求出面積最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先得到A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$，再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出A（1，4），B（8，$\frac{1}{2}$），然后利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，從而得到k、b的值；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)P使得MN=$\frac{1}{2}$AB，直線AB的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$，先證明Rt△PMN∽R(shí)t△CAB得到$\frac{PM}{AC}$=$\frac{PN}{BC}$=$\frac{MN}{AB}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)P（x，$\frac{4}{x}$），（1≤x≤8），則M（x，-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$），則MP=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$-$\frac{4}{x}$，所以2（-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$-$\frac{4}{x}$）=$\frac{7}{2}$，整理得2x²-11x+16=0，根據(jù)判別式的意義判斷方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，所以不存在點(diǎn)P使得MN=$\frac{1}{2}$AB；
（3）利用Rt△PMN∽R(shí)t△CAB得到$\frac{{S}_{△PMN}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{-\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}-\frac{4}{x}}{\frac{7}{2}}$）²，而S_△ABC=$\frac{49}{4}$，所以S_△PMN=（$\frac{9}{2}$-$\frac{1}{2}$x-$\frac{4}{x}$）²，利用不等式公式得$\frac{1}{2}$x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{2}$，所以當(dāng)x=2$\sqrt{2}$時(shí)，$\frac{1}{2}$x+$\frac{4}{x}$有最小值，此時(shí)S_△PMN有最大值，然后把當(dāng)x=2$\sqrt{2}$代入計(jì)算即可得到S_△PMN的最大值=$\frac{113-72\sqrt{2}}{4}$，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

解答 解：（1）∵AC∥y軸，BC∥x軸，
而C（1，$\frac{1}{2}$），
∴A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$，
∵點(diǎn)A、B在雙曲線y=$\frac{4}{x}$上，
∴A（1，4），B（8，$\frac{1}{2}$），
∵點(diǎn)A，B在直線y=kx+b上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{8k+b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$；
（2）不存在點(diǎn)P使得MN=$\frac{1}{2}$AB．理由如下：
假設(shè)存在點(diǎn)P使得MN=$\frac{1}{2}$AB，直線AB的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$，
∵PM∥y軸，AC∥y軸，
∴PM∥AC，
∴∠PMN=∠BAC，
∴Rt△PMN∽R(shí)t△CAB，
∴$\frac{PM}{AC}$=$\frac{PN}{BC}$=$\frac{MN}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)P（x，$\frac{4}{x}$），（1≤x≤8），則M（x，-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$），
∴MP=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$-$\frac{4}{x}$，
∵AC=4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴2（-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$-$\frac{4}{x}$）=$\frac{7}{2}$，
整理得2x²-11x+16=0，
∵△=（-11）²-4×2×16=-7＜0
∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，
∴不存在點(diǎn)P使得MN=$\frac{1}{2}$AB；
（3）△MPN 的面積存在最大值．
∵Rt△PMN∽R(shí)t△CAB，
∴$\frac{{S}_{△PMN}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{PM}{AC}$）²=（$\frac{-\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}-\frac{4}{x}}{\frac{7}{2}}$）²，
而S_△ABC=$\frac{1}{2}$•$\frac{7}{2}$•（8-1）=$\frac{49}{4}$，
∴S_△PMN=（$\frac{9}{2}$-$\frac{1}{2}$x-$\frac{4}{x}$）²，
∵$\frac{1}{2}$x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{\frac{1}{2}x•\frac{4}{x}}$，即$\frac{1}{2}$x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{2}$，
∴當(dāng)$\frac{1}{2}$x=$\frac{4}{x}$時(shí)，即x=2$\sqrt{2}$時(shí)，$\frac{1}{2}$x+$\frac{4}{x}$有最小值，
此時(shí)S_△PMN有最大值，
當(dāng)x=2$\sqrt{2}$時(shí)，S_△PMN的最大值=$\frac{113-72\sqrt{2}}{4}$，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)求線段和三角形的面積；記住不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$（a、b為正數(shù)，當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）．