Question

6．如圖，一條直線y₁=k_lx+b與反比例函數(shù)y₂=$\frac{k_2}{x}$的圖象交于A（1，5）、B（5，n）兩點，與x軸交于D點，AC⊥x軸，垂足為C．
（1）如圖甲，①求反比例函數(shù)的解析式；②求D點坐標；
（2）請直接寫出當y₁＜y₂時，x的取值范圍；
（3）如圖乙，若點E在線段AD上運動，連接CE，作∠CEF=45°，EF交線段AC于點F
①試說明△CDE∽△EAF；
②當△ECF為等腰三角形時，直接寫出F點坐標（1，5）或（1，$\frac{5}{2}$）或（1，10-5$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 （1）把A的坐標代入反比例函數(shù)的解析式，即可求得函數(shù)的解析式，求得B的坐標，然后利用待定系數(shù)法即可求得直線AB的解析式，進而求得與x軸的交點D的坐標；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象直接解答即可；
（3）①可以證得△ACD是等腰直角三角形，利用兩角對應相等的兩個三角形相似即可證得；
②分CF=CE，EF=FC，EF=CE三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)，即可求得CF的長，則F的坐標可以求得．

解答 解：（1）①把（1，5）代入y=$\frac{{k}_{2}}{x}$得：5=k₂，則函數(shù)解析式是：y=$\frac{5}{x}$；
②把x=5代入y=$\frac{5}{x}$得：n=$\frac{5}{5}$=1，
設直線AB的解析式是y₁=k_lx+b，根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}m+b=5\\ 5m+b=1\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}m=-1\\ b=6\end{array}\right.$，
則直線AB的解析式是：y=-x+6，
令y=0，解得：x=6，
則D的坐標是：D（6，0）；
（2）由圖甲可知，當y₁＜y₂時，x＜1或x＞5．

（3）①∵A（1，5），C（1，0）D（6，0），
∴CD=AC=5，
∵AC⊥CD，
∴∠CAD=∠CDA=45°，
又∵∠FEC=45°，
∴∠AFE=∠ACE+∠FEC=∠ACE+45°，
∠DEC=∠ACE+∠CAD=∠ACE+45°，
∴∠AFE=∠DEC       
∴△CDE∽△EAF      
②∵△ECF為等腰三角形分三種情況．如圖乙：

①當CF=CE時，∠CEF=∠CFE=45°，
又∵∠CAB=45°，
∴A，F(xiàn)重合，則F的坐標是：（1，5）；
②當EF=FC時，∠FCE=∠CEF=45°，
∴CE是等腰直角△ACD的角平分線，
∴E是AD的中點，∠FEC=∠ECD=45°，
∴EF∥CD，
∴F是AC的中點，
∴CF=$\frac{5}{2}$，
∴F的坐標是：（1，$\frac{5}{2}$）；
③當EF=CE時，
∵△CDE∽△EAF，
∴△CDE≌△EAF，
∴CD=EA=5，DE=AF=AD-EA=5$\sqrt{2}$-5，
∴CF=AC-AF=5-（5$\sqrt{2}$-5）=10-5$\sqrt{2}$，
∴F的坐標是：（1，10-5$\sqrt{2}$）．
故答案為（1，5）或（1，$\frac{5}{2}$）或（1，10-5$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應用，正確證得兩個三角形相似是關鍵．