Question

19．在四邊形ABCD中，AC、BD交于點E，且∠ACD=∠ADC．
（1）如圖1，若AB=AD，求證：∠BAC=2∠BDC；
（2）如圖2，在（1）的條件下，若∠BDC=30°，求證：BC=AC．
（3）如圖3，若BC=AD，∠BDC=30°，過A作AH⊥BD于H，過C作CF⊥BD于F，且HF：BH=2：11，DF=9，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)AB=AD=AC，作輔助圓A，由∠BAC與∠BDC是$\widehat{BC}$所對的圓心角和圓周角，所以∠BAC=2∠BDC；
（2）根據(jù)同弧所對的圓心角是圓周角的二倍可得：△ABC是等邊三角形，所以BC=AC；
（3）如圖3，作輔助線，根據(jù)等腰三角形三線合一得：CE=ED=$\frac{1}{2}$CD，由直角三角形30°角的性質(zhì)得：CF=$\frac{1}{2}$CD，則CE=CF，利用HL證明Rt△ACE≌Rt△BCF，得∠DCF=∠ACB=60°，則△ABC是等邊三角形，
設(shè)HF=2x，BH=11x，由BH=HD列方程可得結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，∵∠ACD=∠ADC，
∴AC=AD，
∵AB=AD，
∴AB=AD=AC，
∴點B，C，D三點在以A為圓心，以AB為半徑的圓上，
∵∠BAC與∠BDC是$\widehat{BC}$所對的圓心角和圓周角，
∴∠BAC=2∠BDC；

（2）由（1）證得：∠BAC=2∠BDC，
∵∠BDC=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC；

（3）如圖3，過A作AE⊥CD于E，
∵AC=AD，
∴CE=ED=$\frac{1}{2}$CD，
∵∠BCD=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD，
∴CE=CF，
∵BC=AD=AC，∠AEC=∠BFC=90°，
∴Rt△ACE≌Rt△BCF（HL），
∴∠ACE=∠BCF，
∴∠ACE-∠ACF=∠BCF-∠ACF，
即∠DCF=∠ACB=60°，
∵AC=BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴BC=AB，
∴AD=AB，
∵AH⊥BD，
∴BH=HD，
∵HF：BH=2：11，DF=9，
設(shè)HF=2x，BH=11x，
由BH=HD得：11x=2x+9，
x=1，
∴BD=11x+2x+9=22．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形30°角的性質(zhì)，圓周角定理、三角形性質(zhì)和判定，利用圓的半徑都相等，構(gòu)建輔助圓，利用同弧所對的圓周角與圓心角的關(guān)系解決問題，第3問有難度，構(gòu)建輔助線，證明Rt△ACE≌Rt△BCF是關(guān)鍵．