Question

12．如圖在△ABO中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，將△AOB繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為x（0°＜x＜180°）得到△COD．設(shè)AO中點(diǎn)為E，CD中點(diǎn)為P，AO=6，連接EP，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角x=120°時(shí)，EP長(zhǎng)度最大，最大值為9．

Answer 1

分析 根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AB=2OA=12，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)CD=AB=12，連結(jié)OP，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得OP=$\frac{1}{2}$CD=6，如圖1，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得PE＜OE+OP，點(diǎn)P、O、E共線時(shí)，PE=OE+OP，如圖2，點(diǎn)Q為AB的中點(diǎn)，此時(shí)PE最大，易得PE的最大值為9，然后求出∠AOP的度數(shù)即可得到旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．

解答 解：∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴AB=2OA=12，
∵△AOB繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為x（0°＜x＜180°）得到△COD，
∴CD=AB=12，
連結(jié)OP，
∵CD中點(diǎn)為P，
∴OP=$\frac{1}{2}$CD=6，
如圖1，PE＜OE+OP，
點(diǎn)P、O、E共線時(shí)，如圖2，Q為AB的中點(diǎn)，
∵PE=OE+OP，
∴PE的最大值為3+6=9．
∵QA=QO，
∴∠AOQ=∠A=60°，
∴∠POQ=120°
∴旋轉(zhuǎn)角x=120°．
故答案為120°，9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．