Question

10．某紀念幣從2013年11月11日起開始上市，通過市場調查得知該紀念幣每1枚的市場價y（單位：元）與上市時間x（單位：天）的數據如下：

上市時間x天	4	10	36
市場價y元	90	51	90

（1）根據上表數據，在某一特定時期內，可從下列函數中選取一個恰當的函數描述紀念幣的市場價y與上市時間x的變化關系：
①y=ax+b（a≠0）；  ②y=a（x-h）²+k（ a≠0）；  ③y=$\frac{a}{x}$（a≠0）．
你可選擇的函數的序號是②．
（2）利用你選取的函數，求該紀念幣上市多少天時市場價最低，最低價格是多少？

Answer 1

分析 （1）根據市場價y（單位：元）與上市時間x（單位：天）的數據，逐一判斷出可選擇的函數的序號是哪個即可．
（2）根據二次函數最值的求法，求出該紀念幣上市多少天時市場價最低，最低價格是多少即可．

解答 解：（1）①設紀念幣的市場價y與上市時間x的變化關系是y=ax+b時，
則$\left\{\begin{array}{l}{90=4a+b}\\{51=10a+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-6.5}\\{b=116}\end{array}\right.$．
∴y=-6.5x+116，
∵-6.5×36+116=-118≠90，
∴紀念幣的市場價y與上市時間x的變化關系不是y=-6.5x+116；
②設紀念幣的市場價y與上市時間x的變化關系是y=a（x-h）²+k（ a≠0）時，
則$\left\{\begin{array}{l}{90={a（4-h）}^{2}+k}\\{51={a（10-h）}^{2}+k}\\{90={a（36-h）}^{2}+k}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{h=20}\\{k=26}\end{array}\right.$
∴y=$\frac{1}{4}$（x-20）²+26，
∴紀念幣的市場價y與上市時間x的變化關系是y=$\frac{1}{4}$（x-20）²+26．
③4×90=360，10×51=510，36×90=3240，
∵360≠510≠3240，
∴紀念幣的市場價y與上市時間x的變化關系不是y=$\frac{a}{x}$（a≠0）．
∴選擇的函數的序號是②．

（2）∵y=$\frac{1}{4}$（x-20）²+26，
∴當x=20時，y有最小值26，
∴該紀念幣上市20天時市場價最低，最低價格為26元．
答：該紀念幣上市20天時市場價最低，最低價格為26元．

點評 此題注意考查了二次函數的應用，要熟練掌握，解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．