Question

8．如圖，扇形AOB的半徑為2，∠AOB=120°，點P、Q是半徑OA、OB上的動點，M是$\widehat{AB}$上一點，且MP⊥OA于P，MQ⊥OB于Q，I是△MPQ的內(nèi)心，則MI的長度的范圍是（　�。�

• A． 1≤MI≤$\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$≤MI≤1
• C． $\frac{1}{2}$≤MI≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$-1≤MI≤1

Answer 1

分析 ①當點P，Q分別為OA，OB的中點時，MI有最大值，如圖1，連接OM，PI，由∠AOB=120°，OP=OQ，得到∠OPQ=∠OQP=30°，證得△PQM是等邊三角形，根據(jù)I是△MPQ的內(nèi)心，求得IM的最大值；
②當P或Q與O重合時，IM有最小值，如圖2，過作IE⊥PQ，IF⊥MQ，則四邊形IEQF是正方形，根據(jù)I是△MPQ的內(nèi)心，得到IF是內(nèi)切圓的半徑，∠IMQ=30°，由于∠AOB=120°，MP⊥OA得到∠MPQ=30°，根據(jù)PM=2，求得PQ=$\sqrt{3}$，MQ=1，得到IF=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，求出MI最小值．

解答 解：①當點P，Q分別為OA，OB的中點時，MI有最大值，
如圖1，連接OM，PI，
∵∠AOB=120°，OP=OQ，
∴∠OPQ=∠OQP=30°，
∵MP⊥OA于P，MQ⊥OB于Q，
∴∠MPQ=∠MQP=60°，
∴△PQM是等邊三角形，
∵I是△MPQ的內(nèi)心，
∴OM過點I，
∴IM=OI=$\frac{1}{2}$OM=1；
②當P或Q與O重合時，IM有最小值，如圖2，過作IE⊥PQ，IF⊥MQ，
則四邊形IEQF是正方形，
∵I是△MPQ的內(nèi)心，
∴IF是內(nèi)切圓的半徑，∠IMQ=30°，
∴IF=$\frac{1}{2}$（PM+PQ+MQ），
∵∠AOB=120°，MP⊥OA，
∴∠MPQ=30°，
∵PM=2，
∴PQ=$\sqrt{3}$，MQ=1，
∴IF=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴MI=$\sqrt{3}$-1，
∴MI的長度的范圍是：$\sqrt{3}$-1≤IM≤1，
故選D．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)心和內(nèi)切圓，最值問題，知道三角形內(nèi)切圓的半徑=兩直角邊的和減去斜邊的差的一半是解題的關鍵．