Question

4．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，將△ABC沿直線AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，且AB′∥BD，連接B′D．
求證：（1）△ABO是等邊三角形．
（2）B′D∥AC．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是矩形，得到∠BAD=90°，AO=OD，得到∠OAD=∠ADO，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B′AD=∠ADB，等量代換得到∠B′AD=∠DAC，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠BAC=∠CAB′，得到∠DAC=$\frac{1}{2}∠$BAC，求得∠BAC=60°，于是得到結(jié)論；
（2）連接B′O，推出B′C垂直平分OD，得到B′O=B′D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OB′C=∠OCB′=30°，求得∠OCB′=∠CB′D，于是得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AB′∥BD，
∴∠B′AD=∠ADB，
∴∠B′AD=∠DAC，
∵將△ABC沿直線AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，
∴∠BAC=∠CAB′，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}∠$BAC，
∴∠BAC=60°，
∵OA=OB，
∴△ABO是等邊三角形；
（2）連接B′O，
∵∠COD=∠AOB=60°，∠ACB′=∠ACB=30°，
∴CB′⊥OD，
∵CD=OC，
∴B′C垂直平分OD，
∴B′O=B′D，
∵AO=CO，∠AB′C=90°，
∴B′O=OC，
∴∠OB′C=∠OCB′=30°，
∴∠DB′C=∠OB′C=30°，
∴∠OCB′=∠CB′D，
∴B′D∥AC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換-折疊問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，平行線的判定，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．