Question

4．如圖，將一把含45°角的三角尺，放在正方形ABCD上，三角尺繞著頂點A轉(zhuǎn)動時，與正方形的BC、CD兩邊分別交于點E、F．
（1）聯(lián)結(jié)EF，猜想線段EF、BE、DF的長度有什么關(guān)系，并加以證明；
（2）如果正方形的邊長為1，設(shè)BE=x，DF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 （1）延長FD至G，使DG=BE，連接AG，先證△ABE≌△ADG，再證△GAF≌△EAF即可；
（2）在Rt△EFC中，利用勾股定理即可解決問題；

解答 解：（1）EF=BE+DF．
延長FD至G，使DG=BE，連接AG，如圖①，

∵ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABE=ADG=∠DAB=90°，
∴△ABE≌△ADG，
∴AE=AG，∠DAG=∠EAB，
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠EAB=45°，
∴∠DAF+∠DAG=45°，
∴∠GAF=∠EAF=45°，
∵AF=AF，
∴△GAF≌△EAF，
∴EF=GF，
∴GF=DF+DG=DF+BE，
即：EF=DF+BE．

（2）如圖所示，已知BE=x，DF=y，則CE=1-x，CF=1-y，
由（1）可知EF=x+y，
在Rt△CEF中，由勾股定理，得
CE²+CF²=EF²，即（1-x）²+（1-y）²=（x+y）²，
解得：y=$\frac{1-x}{1+x}$（0≤x≤1）．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)變換、正方形的性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，難度適中．對于線段和差關(guān)系的證明，截長補短是常用手段，并且本題是經(jīng)典的“大角夾半角”模型，其結(jié)論和推導(dǎo)過程要牢記，以便再遇到類似問題時可迅速解答．