Question

5．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（m+3）x+3m=0．
（1）求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)值，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2）若該方程的兩實(shí)根x₁和x₂是一個(gè)矩形兩鄰邊的長(zhǎng)且該矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為$\sqrt{10}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先求出判別式△的值，再根據(jù)“△”的意義證明即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=m+3，x₁•x₂=3m，根據(jù)勾股定理可知x₁²+x₂²=10，利用完全平方公式得出關(guān)于m的方程，求出方程的解即可．

解答 （1）證明：△=[-（m+3）]²-4×3m=m²-6m+9=（m-3）²，
因?yàn)椴徽搈為何值，（m-3）²≥0，
所以△≥0，
所以無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)值，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁+x₂=m+3，x₁•x₂=3m，
∵該方程的兩實(shí)根x₁和x₂是一個(gè)矩形兩鄰邊的長(zhǎng)且該矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為$\sqrt{10}$，
∴x₁²+x₂²=10，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2•x₁•x₂=（m+3）²-2•3m=10，
即m²=1，
解得：m₁=1，m₂=-1（舍去），
即m的值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式的應(yīng)用，能正確運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，題目比較好，難度適中．