Question

5．如圖，AB為圓O的直徑，過點O作弦AD的垂線交半圓O于點E，F(xiàn)為垂足，延長OE交AC于點C，使∠C=∠BED．
（1）判斷直線AC與圓O的位置關系，并證明你的結論．
（2）若AB=10，ED∥AB，求△BED的面積．

Answer 1

分析 （1）直線AC與圓O的位置關系是相切，理由為：利用同弧所對的圓周角相等可得一對角相等，再由已知的兩角相等，等量代換可得∠DAB=∠C，又OC垂直于AD，根據(jù)垂直定義可得∠AFO為90°，進而得到三角形AFO中兩銳角互余，等量代換可得三角形AOC中兩角互余，即∠CAO為90°，即可得到直線AC與圓的切線，得證；
（2）連接BD、AF，作FG⊥AB于G，由直徑直徑對的圓周角是直角得∠ADB=90°，由OC⊥AD求得OE∥BD，即可證得四邊形OBDE是平行四邊形，得出ED=OB=5，OE=DB，由OA=OB，OE∥DB，得出AF=DF，根據(jù)RT△EFD≌RT△OFA得出EF=FO，根據(jù)線段垂直平分線的性質得出AE=AO，證得△AOE是等邊三角形，即可求得EG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OE=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，根據(jù)三角形面積公式求得即可．

解答 解：（1）直線AC與圓O的位置關系是相切，
理由：∵∠BED與∠DAB所對的弧都為$\widehat{BD}$，
∴∠BED=∠DAB，
又∵∠BED=∠C，
∴∠DAB=∠C，
∵OC⊥AD，
∴∠AFO=90°，
∴∠DAB+∠AOC=90°，
∴∠C+∠AOC=90°，
∴∠OAC=90°，
∴AC⊥OA，
則AC為圓O的切線．

（2）解：如圖，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
∵OC⊥AD，
∴OE∥BD，
∵ED∥AB，
∴四邊形OBDE是平行四邊形，
∴ED=OB=5，OE=DB，
∵OA=OB，OE∥DB，
∴AF=DF，
在RT△EFD和RT△OFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=AO}\\{DF=AF}\end{array}\right.$，
∴RT△EFD≌RT△OFA（HL），
∴EF=FO，
∴AF=OA，
∵AO=EO，
∴△AOE是等邊三角形，
∴EG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×5=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴△BED的面積=$\frac{1}{2}$DE•FG=$\frac{1}{2}$×$5×\frac{5}{2}\sqrt{3}$=$\frac{25}{4}$$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了切線的判定平行四邊形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質三角形全等的判定和性質，圓周角定理，垂直定義，利用了轉化及等量代換的思想，其中經過直徑一端，且與直徑垂直的直線為圓的切線，熟練掌握此性質是證明切線的關鍵．