Question

12．矩形ABCD中，BC=3，AB=8，E、F為AB、CD邊上的中點(diǎn)，如圖1，A在原點(diǎn)處，點(diǎn)B在y軸正半軸上，點(diǎn)C在第一象限，若點(diǎn)A從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)B隨之沿y軸下滑，并帶動(dòng)矩形ABCD在平面上滑動(dòng)，如圖2，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間表示為t秒，當(dāng)B到達(dá)原點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)t=0時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)及FA的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)t=4時(shí)，求OE的長(zhǎng)及∠BAO的大�。�
（3）求從t=0到t=4這一時(shí)段點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)；
（4）當(dāng)以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓與坐標(biāo)軸相切時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析 （1）先確定出DF，進(jìn)而得出點(diǎn)F的坐標(biāo)即可得出AF；
（2）利用直角三角形的性質(zhì)得出∠ABO=30°，OE=4，即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路線，利用弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論；
（4）分兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)建立方程求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)t=0時(shí)，
∵AB=CD=8，F(xiàn)為CD中點(diǎn)，
∴DF=4，
∴F（3，4），
∴AF=5，

（2）當(dāng)t=4時(shí)，OA=4，
在Rt△ABO中，AB=8，∠AOB=90°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴∠ABO=30°，OE=4，
∴∠BAO=60°，

（3）從t=0到t=4這一時(shí)段，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路線是以O(shè)為圓心，OE為半徑圓心角是30°的一段弧，
（其中OE=OE₁=4，∠E₁OE=90°-60°=30°，）
∴點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為$\frac{30π×4}{180}$=$\frac{2}{3}$π；

（4）在Rt△ADF中，F(xiàn)D²+AD²=AF²，
∴AF=$\sqrt{F{D}^{2}+A{D}^{2}}$=5，
①設(shè)AO=t₁時(shí)，⊙F與x軸相切，點(diǎn)A為切點(diǎn)，
∴FA⊥OA，
∴∠OAB+∠FAB=90°，
∵∠FAD+∠FAB=90°，
∴∠BAO=∠FAD，
∵∠BOA=∠D=90°，
∴Rt△FAE∽R(shí)t△ABO，
∴$\frac{AB}{FA}=\frac{AO}{FE}$，
∴$\frac{8}{5}=\frac{{t}_{1}}{3}$，
∴t₁=$\frac{24}{5}$，
②設(shè)AO=t₂時(shí)，⊙F與y軸相切，B為切點(diǎn)，同理可得，t₂=$\frac{32}{5}$，
綜上所述，當(dāng)以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓與坐標(biāo)軸相切時(shí)，t的值為$\frac{24}{5}$或$\frac{32}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是圓的綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，中點(diǎn)的意義，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解（2）的關(guān)鍵是得出∠ABO=30°，解（3）的關(guān)鍵是判斷出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路線，解（4）的關(guān)鍵是判斷出Rt△FAE∽R(shí)t△ABD，是一道中等難度的中考�？碱}．