Question

7．如圖，在⊙O中，直徑AB=8，∠A=30°，AC=8$\sqrt{3}$，AC與⊙O交于點(diǎn)D．
（1）求證：直線BD是線段AC的垂直平分線；
（2）若過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，求證：DE是⊙O的切線；
（3）若點(diǎn)F是AC的三等分點(diǎn)，求BF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90°，解直角三角形得到BD=4，AD=4$\sqrt{3}$，于是得到AD=$\frac{1}{2}$AC，即可得到結(jié)論；
（2）連接OD，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到OD∥BC，OD=$\frac{1}{2}$BC，推出OD⊥DE，于是得到DE是⊙O的切線；
（3）根據(jù)已知條件得到AF=$\frac{16}{3}$$\sqrt{3}$，求得DF=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：∵（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵直徑AB=8，∠A=30°，
∴BD=4，AD=4$\sqrt{3}$，
∵AC=8$\sqrt{3}$，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC，
∴直線BD是線段AC的垂直平分線；
（2）連接OD，
∵D，O分別是線段AC，AB的中點(diǎn)，
∴OD∥BC，OD=$\frac{1}{2}$BC，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=∠EDO=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；
（3）∵點(diǎn)F是AC的三等分點(diǎn)，
∴AF=$\frac{16}{3}$$\sqrt{3}$，
∵AD=4$\sqrt{3}$，
∴DF=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
∵BD⊥AC，BD=4，
∴BF=$\sqrt{D{F}^{2}+B{D}^{2}}$=$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)和判定，圓周角定理，勾股定理，線段垂直平分線的判定，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．