Question

14．閱讀下面問題：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}$-1；$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；$\frac{1}{\sqrt{5}+2}$=$\sqrt{5}$-2．
猜測(cè)：（1）$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$的值；
（2）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$（n為正整數(shù)）的值．
（3）根據(jù)你的猜測(cè)計(jì)算：
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+L+$\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}$+$\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)觀察，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：兩個(gè)相鄰自然數(shù)的算術(shù)平方根和的倒數(shù)等于這兩個(gè)相鄰自然數(shù)的算術(shù)平方根的差，可得答案；
（2）根據(jù)觀察，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：兩個(gè)相鄰自然數(shù)的算術(shù)平方根和的倒數(shù)等于這兩個(gè)相鄰自然數(shù)的算術(shù)平方根的差，可得答案；
（3）根據(jù)規(guī)律：兩個(gè)相鄰自然數(shù)的算術(shù)平方根和的倒數(shù)等于這兩個(gè)相鄰自然數(shù)的算術(shù)平方根的差，可得答案．

解答 解：（1）原式=$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$；
（2）原式=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（3）原式=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{99}$-$\sqrt{98}$+$\sqrt{100}$-$\sqrt{99}$
=10-1=9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分母有理化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：兩個(gè)相鄰自然數(shù)的算術(shù)平方根和的倒數(shù)等于這兩個(gè)相鄰自然數(shù)的算術(shù)平方根的差是解題關(guān)鍵．