Question

10．如圖，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點B、C、D在同一條直線上，BE交AC于F，AD交CE于H，連接FH．
（1）求證：△ACD≌△BCE；
（2）求證：AH=BF；
（3）求證：△CFH為等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）利用等邊三角形的性質(zhì)得出條件，可證明△BCE≌△ACD；
（2）利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAH，再運用平角定義得出∠BCF=∠ACH，進而得出△BCF≌△ACH，即可得出結(jié)論；
（3）由CF=CH和∠ACH=60°，根據(jù)“有一個角是60°的三角形是等邊三角形，可得△CFH是等邊三角形．

解答 證明：（1）∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC=AB，EC=CD=ED，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC\\;}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；

（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF=∠CAH．
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACH=60°．
∴∠BCF=∠ACH，
在△BCF和△ACH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠CAH}\\{BC=AC}\\{∠BCF=∠ACH}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴AH=BF；

（3）∵△BCF≌△ACH，
∴CF=CH，
∵CF=CH，∠ACH=60°，
∴△CFH是等邊三角形．

點評 本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)．結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，創(chuàng)造條件證明三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵．解題時注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．