Question

1．如圖，正方形ABCD（四邊相等，四個(gè)角都是直角）的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿射線AD方向向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)，連接BP，過(guò)點(diǎn)P作BP的垂線交過(guò)點(diǎn)Q平行于CD的直線l于點(diǎn)E，BE于CD相交于點(diǎn)F，連接PF，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△BPE的面積記為S，
（1）求∠PBE的度數(shù)，求S（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PQF是以PF為腰的等腰三角形？
（3）試探索在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中△PDF的周長(zhǎng)是否隨時(shí)間t的變化而變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變，試求這個(gè)定值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，只要證明△ABP≌△QPE，推出PB=PE即可證明．
（2）如圖2中，分兩種情形討論①當(dāng)AP=PD時(shí)，可以推出△PFQ是等腰三角形，此時(shí)t=2．
②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，PF=CD=AD=DQ，△PFQ是等腰三角形，此時(shí)t=4．
（3）如圖3中，△PDF的周長(zhǎng)是定值．將△BCF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAG，只要證明△PBG≌△PBF，推出PF=PG，推出PF=PA+AG=PA+CF，由此即可證明．

解答 解：（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠A=90°，
∵AP=DQ，
∴AD=PQ=AB，
∵PB⊥PE，
∴∠BPE=90°，
∴∠ABP+∠APB=90°，∠APB+∠EPQ=90°，
∴∠ABP=∠EPQ，
在△ABP和△QPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABP=∠EPQ}\\{∠A=∠EQP}\\{AB=PQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△QPE，
∴PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB=45°．

（2）如圖2中，

①當(dāng)AP=PD時(shí)，
∵AP=DQ，
∴DP=DQ，
∵FD⊥PQ，
∴PF=FQ，
∴△PFQ是等腰三角形，此時(shí)t=2．
②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，PF=CD=AD=DQ，△PFQ是等腰三角形，此時(shí)t=4．
綜上所述，t=2s或4s時(shí)，△PFQ是以PF為腰的等腰三角形．

（3）如圖3中，△PDF的周長(zhǎng)是定值．

將△BCF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAG．
∵∠PBE=45°，∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠CBF=∠ABP+∠ABG=45°，
∴∠PBG=∠PBF，
在△PBG和△PBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=PB}\\{∠PBG=∠PBF}\\{BG=BF}\end{array}\right.$，
∴△PBG≌△PBF，
∴PF=PG，
∴PF=PA+AG=PA+CF，
∴△PDF的周長(zhǎng)=PF+DP+DF=（PA+DP）+（DF+CF）=AD+CD=8．
∴△PDF的周長(zhǎng)為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．