Question

14．如圖1，在△ABC中，在BC邊上取一點(diǎn)P，在AC邊上取一點(diǎn)D，連AP、PD，如果△APD是等腰三角形且△ABP與△CDP相似，我們稱△APD是AC邊上的“等腰鄰相似三角形”．
（1）如圖2，在△ABC中AB=AC，∠B=50°，△APD是AB邊上的“等腰鄰相似三角形”，且AD=DP，∠PAC=∠BPD，則∠PAC的度數(shù)是30°；
（2）如圖3，在△ABC中，∠A=2∠C，在AC邊上至少存在一個(gè)“等腰鄰相似△APD”，請(qǐng)畫出一個(gè)AC邊上的“等腰鄰相似△APD”，并說(shuō)明理由；
（3）如圖4，在Rt△ABC中AB=AC=2，△APD是AB邊上的“等腰鄰相似三角形”求出AD長(zhǎng)度的所有可能值．

Answer 1

分析 （1）只要證明∠A=∠PAB即可解決問(wèn)題．
（2）如圖3中，作∠BAC的平分線AP交BC于P，作PD∥AB交AC于D，只要證明DP=DA，即可解決問(wèn)題．
（3）分三種情形討論①如圖3′中，當(dāng)DA=DP時(shí)．②如圖4中，當(dāng)PA=PD時(shí)．③如圖5中，當(dāng)AP=AD時(shí)．分別求解即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖2中，

∵AB=AC，DA=DP，
∴∠B=∠C，∠DAP=∠DPA，
∵∠PAC=∠BPD，
∴∠APC=∠BDP=∠DAP+∠DPA，
∵∠APC=∠B+∠BAP，
∴∠B=∠PAB=50°，
∵∠BAC=180°-50°-50°=80°，
∴∠PAC=30°
故答案為30°．

（2）如圖3中，作∠BAC的平分線AP交BC于P，作PD∥AB交AC于D，

∴∠BAP=∠PAD=∠DPA，∠CPD=∠B，
∵∠CAB=2∠C，
∴∠PAD=∠C，
∴DP=DA，
∴△APD是等腰三角形且與△APB與△CDP相似．

（3）如圖3′中，當(dāng)DA=DP時(shí)，設(shè)∠APD=∠DAP=x，

①若∠BPD=∠CAP=90°-x，∠BDP=∠CPA=2x，
∴90°-x+2x+x=180°，
∴x=45°，
∴三角形都是等腰直角三角形，易知AD=1，
②若∠PDB=∠CAP時(shí)，設(shè)∠APD=∠DAP=x，得到∠PDB=∠CAP=2x，易知x=30°，設(shè)AD=a，則AP=$\sqrt{3}$a，
∵△BPD∽△CPA，
∴$\frac{BD}{AC}$=$\frac{PD}{PA}$，即$\frac{2-a}{2}$=$\frac{a}{\sqrt{3}}$a，解得a=$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$，
如圖4中，當(dāng)PA=PD時(shí)，易知∠PDB是鈍角，∠CAP是銳角，

∴∠PDB=∠CPA，則△BPD≌△CPA，設(shè)AD=a，則BD=2-a，BP=2$\sqrt{2}$-（2-a），AC=2，
2$\sqrt{2}$-（2-a）=2，
解得a=4-2$\sqrt{2}$，
如圖5中，當(dāng)AP=AD時(shí)，設(shè)∠APD=∠ADP=x，則∠DAP=180°-2x，易知∠PDB為鈍角，∠CAP為銳角，

∴∠PDB=∠CAP=180°-x，∠CAP=90°-∠DAP=90°-（180°-2x）=2x-90°，
在△APC中，2x-90°+180°-x+45°=180°，解得x=45°，不可能成立．
綜上所述．AD的長(zhǎng)為1或$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$或4-2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線的定義、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用構(gòu)建方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．