Question

6．如圖①，在凸四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別在AD，AB，BC，CD上，且EF∥HG∥BD，EH∥FG∥AC，若四邊形EFGH是菱形，則稱菱形EFGH是凸四邊形ABCD的內(nèi)接菱形．
（1）如圖②，在凸四邊形ABCD中，若AC=BD，請畫出四邊形ABCD的內(nèi)接菱形，簡要說明作圖依據(jù)；
（2）如圖③，四邊形IJKL是凸四邊形ABCD的內(nèi)接菱形，BD=a，AC=ka．
①填空：$\frac{IJ}{BD}+\frac{JK}{AC}$=1，$\frac{IJ}{BD}$=$\frac{k}{1+k}$（用含k的代數(shù)式表示）；
②若BD=5，且四邊形ABCD的面積是四邊形IJKL面積的3倍，求出AC的值．

Answer 1

分析 （1）如圖②所示，取AB、BC、CD、DA的中點E、F、G、H連接EF、FG、GH、HE，四邊形EFGH是菱形，根據(jù)三角形中位線定理即可證明．
（2）①由IJ∥BD，JK∥AC，得$\frac{IJ}{BD}$=$\frac{AJ}{AB}$，$\frac{JK}{AC}$=$\frac{JB}{AB}$，所以$\frac{IJ}{BD}$+$\frac{jk}{AC}$=$\frac{AJ}{AB}$+$\frac{JB}{AB}$=$\frac{AJ+JB}{AB}$=$\frac{AB}{AB}$=1．又IJ=JK，AC=k•BD，所以$\frac{JI}{BD}$+$\frac{JK}{k•BD}$=1，由此即可求出$\frac{IJ}{BD}$的值．
②由$\frac{IJ}{BD}$+$\frac{JK}{AC}$=1，推出$\frac{JK}{AC}$=$\frac{1}{1+k}$，可得S_△AIJ=（$\frac{k}{1+k}$）²•S△ABD，S_△CKL=（$\frac{k}{1+k}$）²•S_△BDC，S_△DIL=（$\frac{1}{1+k}$）²•S_△ADC，S_△BJK=（$\frac{1}{1+k}$）²•S_△ABC，根據(jù)四邊形ABCD的面積是四邊形IJKL面積的3倍，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）如圖②所示，取AB、BC、CD、DA的中點E、F、G、H連接EF、FG、GH、HE，四邊形EFGH是菱形．

理由：∵AC=BD，AE=EB，AH=HD，CF=FB，CG=DG，
∴EH=GF=$\frac{1}{2}$BD，同理可得HG=EF=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四邊形EFGH是菱形．

（2）①如圖③中，

∵IJ∥BD，JK∥AC，
∴$\frac{IJ}{BD}$=$\frac{AJ}{AB}$，$\frac{JK}{AC}$=$\frac{JB}{AB}$，
∴$\frac{IJ}{BD}$+$\frac{jk}{AC}$=$\frac{AJ}{AB}$+$\frac{JB}{AB}$=$\frac{AJ+JB}{AB}$=$\frac{AB}{AB}$=1．
∵IJ=JK，AC=k•BD
∴$\frac{JI}{BD}$+$\frac{JK}{k•BD}$=1，
∴$\frac{k•IJ+JK}{k•BD}$=1，
∴$\frac{IJ}{BD}$=$\frac{k}{1+k}$，
故答案為1.$\frac{k}{1+k}$．

②∵$\frac{IJ}{BD}$+$\frac{JK}{AC}$=1，
∴$\frac{k•IJ}{k•BD}$+$\frac{JK}{AC}$=1，
∴$\frac{JK}{AC}$=$\frac{1}{1+k}$，
∵$\frac{JK}{BD}$=$\frac{KL}{BD}$=$\frac{k}{1+k}$，
∴S_△AIJ=（$\frac{k}{1+k}$）²•S△ABD，S_△CKL=（$\frac{k}{1+k}$）²•S_△BDC，S_△DIL=（$\frac{1}{1+k}$）²•S_△ADC，S_△BJK=（$\frac{1}{1+k}$）²•S_△ABC，
∵四邊形ABCD的面積是四邊形IJKL面積的3倍，
∴S_{四邊形ABCD}=3[S_{四邊形ABCD}-（$\frac{k}{1+k}$）²•S_{四邊形ABCD}-（$\frac{1}{1+k}$）²•S_{四邊形ABCD}]，
整理得k²-4k+1=0，
解得k=2+$\sqrt{3}$或2-$\sqrt{3}$，
∴AC=k•BD=10+5$\sqrt{3}$后10-5$\sqrt{3}$．

點評 本題考查四邊形綜合題、三角形中位線定理、平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用比例的性質(zhì)解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考壓軸題．